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Las fuerzas en la naturaleza:
aplicaciones de la Dinámica

Pregunta 1
Un cuerpo de 2 kg gira, en un plano vertical, atado a una cuerda de 1 m de longitud, con una velocidad de 5 m/s. Calcula la tensión de la cuerda en:

a) El punto más bajo.

b) En la posición horizontal.

c) Cuando se encuentra 30º por encima de la horizontal.

Respuesta 1
Como en todos los problemas de Dinámica, lo primero que debemos plantearnos es el esquema o diagrama de fuerzas que actúan, en este caso sobre la esfera .

a) En el punto más bajo (A) la fuerza centrípeta es la resultante de la tensión (hacia arriba) y el peso (hacia abajo). Por tanto:

b) En la posición horizontal (punto B del dibujo) la única fuerza centrípeta es la tensión, por lo que:

y el peso, que queda sin equilibrar es el responsable de la aceleración que tiene el cuerpo en el descenso.

c) Cuando se encuentra 30º por encima de la horizontal (punto C de la figura) la fuerza centrípeta es la suma de la tensión y la componente del peso en dirección radial. Por tanto:

Y sustituyendo datos:

Pregunta 2
Un cuerpo atado a una cuerda de 0,5 m de longitud describe al girar un cono (péndulo cónico). Calcula el número de revoluciones por segundo necesarias para que el ángulo con la vertical sea de 60º.

Respuesta 2
El diagrama de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es el siguiente:

De donde se deduce que:

Si descomponemos la tensión T en sus componentes horizontal y vertical, la igualdad vectorial anterior se traduce en:

En la dirección vertical:

T cos q - mg = 0 Þ T cos q = mg

Esto explica la ausencia de movimiento de m en la dirección vertical.

En la dirección horizontal:

Por tanto, la componente T sen q es la fuerza centrípeta que hace que m describa círculos con rapidez constante.

Dividiendo ambas expresiones:

Para determinar la velocidad angular tenemos en cuenta que:

y sustituyendo los datos:

que, expresado en revoluciones por segundo:

Pregunta 3
Un bloque de masa 1 000 kg se mueve sobre una superficie horizontal bajo la acción de una fuerza, cuya dirección forma un ángulo de 30º con la horizontal y de sentido hacia arriba. Si el coeficiente de rozamiento vale 0,2.

a) ¿Cuál ha de ser el valor de la fuerza para que el bloque se mueva con velocidad constante?

b) Si en cierto instante se duplica la fuerza anterior que actúa sobre el bloque, ¿cuál será el incremento de su velocidad al cabo de 10 s?

Respuesta 3
a) En la siguiente figura se representan todas la fuerzas que actúan sobre el bloque:

Si el cuerpo se debe mover con velocidad constante su aceleración ha de ser nula, luego, aplicando la ecuación del movimiento:

FxFr = 0

Donde la fuerza de rozamiento viene dada por la expresión:

Fr = mN

Siendo N en este caso:

N = PFy = mgF sen 30º

Luego:

F cos 30º m (mgF sen 30º) = 0

De donde:

b) Si se duplica la fuerza, el cuerpo adquirirá una aceleración que podemos determinar a partir de la segunda ley de Newton:

F cos 30º – Fr = ma

Es decir:

F cos 30º m (mgF sen 30º) = ma

De donde:

y en consecuencia su velocidad será:

v = v0 + at = 0 + 1,96 m/s2 · 10 s = 19,6 m/s

por lo que el incremento de velocidad vendrá dado por:

Dv = v (t = 10) v (t = 0) = 19,6 m/s

Pregunta 4
Un tren está formado por tres vagones de 15 Tm cada uno. El primero actúa de máquina y ejerce una fuerza de 4 800 kp, si la fuerza de rozamiento de cada vagón es de 1 000 N, calcula:

a) La tensión de enganche entre el primer y segundo vagón.

b) La tensión entre el segundo y tercer vagón.

Respuesta 4
Todas las fuerzas que están implicadas en el movimiento son las que aparecen en la siguiente figura:

De donde podemos deducir, aplicando la segunda ley de la Dinámica, a cada cuerpo que:

F FrT = m1a

TT
´Fr = m2a

Fr = m3a

Y resolviendo el sistema llegamos a:

a = 0,97 m/s2

T = 31 360 N

= 15 679 N

Pregunta 5
Si se duplica la masa de la Tierra, manteniéndose la Luna en su misma órbita, ¿cuál sería su nuevo período orbital?

Datos: G = 6,67 · 10
11 N m2/kg2; mT = 6 · 1024 kg; rT = 3,8 · 108 m.

Respuesta 5
Podemos suponer que la Luna efectúa un movimiento aproximadamente circular alrededor de la Tierra bajo una fuerza centrípeta que es la fuerza gravitacional. Por tanto:

Fgravitacional = Fcentrípeta

Así pues:

Y como, a su vez:

Entonces:

de donde:

Es decir, se hace veces menor.

Pregunta 6
Un objeto de masa 200 g se lanza con velocidad de 3 m/s deslizando sobre una mesa horizontal, desde un extremo hasta el opuesto que está a una distancia de 1,5 m. El coeficiente de rozamiento entre el objeto y la mesa es m = 0,2.

a) Explique si el objeto caerá o no al suelo.

b) En caso afirmativo, y suponiendo que la altura de la mesa sobre el suelo es de 0,8 m, ¿a qué distancia de la mesa caerá?

c) ¿Cuál será el tiempo transcurrido desde el comienzo del movimiento hasta el instante de impacto con el suelo?

Dato: g = 9,8 m/s2.

Respuesta 6
a) Para saber si el objeto caerá o no al suelo, determinamos la velocidad al final de la mesa, si ésta es nula el objeto no caerá, en caso contrario sí.

Como la única fuerza que actúa es la de rozamiento, aplicando el 2º principio de la Dinámica:

-Fr = ma

es decir:

-mmg = ma

de donde:

a = -1,96 m/s2

Y por tanto, la velocidad final será:

Luego, el cuerpo sí cae.

b) Al final de la mesa el cuerpo inicial un movimiento horizontal, cuya ecuación de movimiento viene descrita por la expresión:

Al llegar al suelo la componente y del movimiento se anula, por consiguiente:

siendo ese tiempo el que tarda desde que abandona la mesa hasta que cae al suelo, luego el espacio recorrido en ese tiempo será:

x = vot = 1,7 m/s · 0,40 s = 0,68 m

c) El tiempo transcurrido desde el comienzo del movimiento hasta el instante del impacto con el suelo será la suma del tiempo que tarda en recorrer la mesa más el tiempo que tarda en caer, donde el tiempo que tarda en recorrer la mesa viene dado por la expresión:

Y en consecuencia, el tiempo total será:

ttotal = 0,66 s + 0,40 s = 1,06 s

Pregunta 7
Calcula la fuerza que un cuerpo de 60 kg ejerce sobre el piso de un ascensor cuando:

a) Asciende con velocidad constante de 1 m/s.

b) Asciende con aceleración constante de 1 m/s2.

c) Desciende con una aceleración constante de 1 m/s2.

d) Si el ascensor y el cuerpo tienen una masa conjunta de 560 kg, ¿qué tensión deberá ejercer el cable de motor en el caso c)?

Respuesta 7
En todos los casos el valor de la fuerza que ejerce sobre el suelo es igual a N.

a)
En este caso la aceleración es nula, luego:

N = mg = 600 N

b) Si el ascensor acelera hacia arriba el cuerpo también lo hará, lo que únicamente se explica si admitimos que la fuerza que actúa hacia arriba sobre tu cuerpo (N) es mayor que la que actúa hacia abajo (mg) y surge, en consecuencia, una aceleración hacia arriba. Así pues:

N mg = ma Þ N = m (g + a) = 660 N

c) Ahora, el ascensor y el cuerpo se ven sometidos a una aceleración hacia abajo y se cumple que:

mg N = ma Þ N = m (ga) = 540 N

d) En este caso, puesto que desciende con aceleración constante:

P T = ma

Sustituyendo datos:

T = Pma = 560 kg · 10 m/s2 – 560 kg · 1 m/s2 = 5 040 N

Pregunta 8
Dos cuerpos M y m se encuentran unidos por una cuerda de 1 m, de masa despreciable, que se hace pasar por un gancho giratorio que cuelga del techo. La masa m se hace girar describiendo círculos en el mismo plano en el que se encuentra M. ¿Con qué velocidad angular debe girar para que M permanezca en equilibrio?

Datos: M = 10 kg, m = 6 kg.

Respuesta 8
Las fuerzas que actúan sobre ambos cuerpos puede verse en la figura:

De donde se deduce que:

T = Mg

T cos q = mg Þ Mg cos q = mg Þ cos q = 0,6 Þ q = 53,13º

Además v = wr, y como puede verse en la figura: r = L sen q, luego:

siendo:

llegamos a:

Pregunta 9
Si la constante k del muelle de la figura es de 200 N/m, calcula el estiramiento que sufrirá en A y B, si la masa es en ambos casos de 8 kg. Repite el supuesto B si el coeficiente de rozamiento es igual a 0,4.

Respuesta 9
En el primer caso se cumple que:

kx = mg

Por lo que:

x = 0,39 m = 39 cm

En el segundo caso:

kx = mg sen a

Por tanto:

x = 0,25 m = 25 cm

En el tercer caso:

kx = mg sen a - mmg cos a

Por tanto:

x = 0,13 m = 13 cm

Pregunta 10
Un cuerpo de masa m se apoya sobre un plano inclinado q º con respecto a la horizontal. ¿En qué sentido y con qué aceleración se deberá desplazar el plano inclinado para que el cuerpo permanezca en la misma posición, respecto del plano, suponiendo que el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano inclinado vale m .

Respuesta 10
En la figura aparecen representadas todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m.

Según el cual, para que el cuerpo esté en reposo se debe cumplir:

Fix + Fr = Px

Es decir:

Fi cos q + m (Py + Fiy) = mg sen q

De donde:

ma0 cos q + m (mg cos q + ma0 sen q ) = mg sen q

y a partir de aquí: