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Movimientos de los cuerpos celestes

Pregunta 1
a) Momento angular de una partícula: definición y teorema de conservación.

b) Un satélite artificial, de masa m = 200 kg describe una órbita circular de radio r = 6 700 km en torno a la Tierra. Calcula su momento angular respecto al centro de la Tierra. ¿Es constante? ¿Por qué?

Datos: mT = 5,98 · 1024 kg; G = 6,67· 10–11 N m2 kg–2

Respuesta 1
a) Se define el momento angular de una partícula respecto a un punto O como el vector resultado del producto vectorial del vector posición de la partícula a ese punto por su cantidad de movimiento o momento lineal, .

(1)

La dirección y sentido de vienen dadas por la regla de Maxwell o del sacacorchos aplicada a los vectores y .

Teorema: la variación del momento angular de una partícula con el tiempo es igual al momento resultante de las fuerzas sobre la partícula respecto al punto O.

Demostración: si derivamos la ecuación (1):

El término , ya que es el producto vectorial de .

Por tanto:

Teorema de conservación del momento angular: si el momento resultante sobre la partícula es nulo, la variación del momento angular también es nula, es decir, el momento angular se conserva.

entonces, sí:

b) La fuerza centrípeta que mantiene al satélite es la fuerza gravitatoria; es una fuerza central cuyo módulo vale:

de donde:

y como es perpendicular a , entonces r = rT, y por ello el módulo del momento angular valdrá:

L = rTmSv = 6,7 · 106 N m2/kg2 · 2 · 102 kg · 7,7 ·103 m/s = 1,03 · 10–13 kg m2/s

La dirección y el sentido del vector momento angular puede verse en la figura anterior.

Al ser la fuerza central, su dirección es la misma de r, aunque el sentido es contrario, por ello:

de donde y como ya se ha dicho anteriormente, si , es constante en módulo, dirección y sentido.

Pregunta 2
Un cilindro homogéneo de 2 kg de masa y 0,25 m de radio, rueda por un plano inclinado de 30º y 2,7 m de altura. Calcular:

a) La energía cinética del cilindro al final del plano y tras rodar a lo largo del mismo.

b) La velocidad del centro de masas en ese mismo instante.

Datos: g = 10 ms–2; I = ½ mr2.

Respuesta 2
a) En lo alto del plano inclinado el cilindro solo posee energía potencial gravitatoria:

Ep = mgh = 2 kg · 10 ms–2 · 2,7 m = 54 J

Y cuando rueda, esa energía potencial se transforma en cinética traslacional del centro de masas y en cinética rotacional, de modo que:

mgh = ½ mv2 + ½ Iw2

Luego:

Ec total = 54 J

b) De la expresión anterior:

mgh = ½ mv2 + ½ Iw2

y teniendo en cuenta que w = v/r e I = ½ mr2, llegamos a:

mgh = ½ mv2 + ½ (½ mr2) (v/r)2

de donde:

Pregunta 3
Se enrolla una cuerda de masa despreciable alrededor de un cilindro sólido uniforme que tiene una masa de 15 kg y un radio r = 6 cm. El cilindro puede girar libremente respecto de su eje de simetría, colocado verticalmente. Un extremo de la cuerda se fija al cilindro, se enrolla en torno al mismo y por el extremo libre se aplica una fuerza horizontal que mantiene una tensión constante de 1,8 N. Calcular:

a) La aceleración lineal y angular de puntos situados a una distancia r y r/2 del eje.

b) La velocidad angular y lineal en los mismos puntos a los 2 segundos de iniciar el movimiento desde el reposo.

c) El ángulo girado, en grados, desde el inicio del movimiento hasta t = 2 s.

Dato: momento de inercia del cilindro: I = ½ mr2.

Respuesta 3
a) La fuerza cuyo momento produce la rotación del cilindro es la tensión de la cuerda y como esta fuerza es tangencial, su momento vale:

M = Tr

donde r es el radio del cilindro.

Aplicando la expresión:

M = Ia

Podemos obtener la aceleración angular y, de este modo, la aceleración lineal y la velocidad, ya que:

Sustituyendo los datos:

aceleración angular que es igual para todos los puntos.

Por otro lado, la aceleración lineal valdrá:

a = ar

y sustituyendo para r = 0,06 m:

a = ar = 4 rad/s2 · 0,06 m = 0,24 m/s2

mientras que para r = 0,03 m será:

a = ar = 4 rad/s2 · 0,03 m = 0,12 m/s2

b) Para el cálculo de la velocidad angular aplicamos la expresión:

w = at

luego, sustituyendo el valor de a calculado en el apartado anterior, obtenemos:

w = at = 4 rad/s2 · 2 s = 8 rad/s

velocidad angular que es constante en todos los puntos, mientras que la velocidad lineal viene dada por:

v = wr

donde sustituyendo los datos llegamos a:

v = 8 rad/s · 0,06 m = 0,48 m/s

v = 8 rad/s · 0,03 m = 0,24 m/s

c) Como el tipo de movimiento es circular uniformemente acelerado:

q = ½ at2

es decir:

q = ½ · 4 rad/s2 · (2 s)2 = 8 rad

que transformado en grados:

Pregunta 4
Una polea de 5 cm de radio lleva enrollada una cuerda de la cual pende un cuerpo de 20 g, siendo el momento de inercia de la polea 2 · 10–5 kg m2. Calcular:

a) La aceleración del cuerpo.

b) La energía cinética adquirida por el sistema al cabo de 3 s de empezar a moverse.

Dato: g = 9,8 ms–2.

Respuesta 4
a) La tensión de la cuerda es la fuerza tangencial cuyo momento produce la rotación de la polea. Por una parte, tenemos la ecuación de traslación del cuerpo:

P – T = m´a

Y por otra, la de rotación de la polea:

Tr = Ia

Puesto que a = ar, sustituyendo en la primera ecuación y resolviendo el sistema resultante se obtiene:

b) Se trata de un movimiento uniformemente acelerado, de traslación para la masa y de rotación para la polea, luego la energía cinética total que adquiere el sistema será la suma de la cinética de traslación más la cinética de rotación:

Ec total = Ec traslacional + Ec rotacional = ½ mv2 + ½ Iw2

Donde la velocidad lineal viene dada por la expresión:

v = at = 21 m/s

y la angular por:

Luego:

Ec total = 6,174 J

Pregunta 5
Un sistema de dos poleas acopladas coaxialmente presenta un momento de inercia conjunto de 0,015 kg m2. La exterior tiene un radio r1 de 0,1 m y la interior r2 de 0,04 m y de ellas cuelgan bloques de masas m1 = 0,1 kg y m2 = 0,2 kg, respectivamente. Calcule, realizando previamente los diagramas de fuerzas pertinentes:

a) La aceleración angular del sistema, cuando, partiendo del reposo, se deja en libertad.

b) Las tensiones de los hilos.

Respuesta 5
a) La figura siguiente muestra las fuerzas que actúan sobre cada uno de los bloques.

Hay dos ecuaciones de traslación de m1 y m2 y una de rotación de la polea:

m1g – T1 = m1a1

T2 – m2g = m2a2

T1r1 – T2r2 = Ia

Resolviendo el sistema, considerando que a1 = ar1 y a2 = ar2 y sustituyendo los datos, llegamos a:

b) Y para el cálculo de las tensiones:

T1 = m1g – m1a1 = 0,97 N

T2 = m2a2 + m2g = 1,97 N

Pregunta 6
Un disco circular de radio r = 1 m y masa m = 10 kg tiene incrustada en un punto de su periferia una masa puntual m¢  = 1 kg. El disco gira alrededor del eje vertical que pasa por su centro con velocidad angular constante de 5 rad/s. Si la masa puntual se desplaza hasta el centro del disco, calcular:

a) La nueva velocidad angular.

b) La variación de energía mecánica causada por el desplazamiento de la masa puntual.

Datos: Idisco = ½ mr2; Imasa puntual = m¢r ¢ 2, donde r ¢ es la distancia al eje de giro.

Respuesta 6
a) El momento angular inicial del sistema es el del disco más el de la masa puntual:

L0 = I0w0 = (1/2 mr2 + m¢r ¢2) w0 = 30 kg m2/s

Al desplazarse la masa puntual hasta el centro del disco, r'  = 0 y el momento angular será:

L = Iw¢ = (½ mr2) w¢ = 5 · w¢

Como el momento angular se conserva:

L0 = L Þ w¢ = 6 rad/s

b) La variación de energía mecánica causada por el desplazamiento de la masa puntual será:

Ec inicial = ½ Iw 02 = ½ (1/2 mr2 + m¢r ¢2) w 02 = 75 J

Ec después = ½ Iw2 = (½ mr2) w¢2 = 90 J

Luego:

DE = 15 J

Pregunta 7
Calcular el momento angular respecto al origen de coordenadas de un sistema formado por tres partículas de masas m1 = 0,5 kg, m2 = 1 kg y m3 = 0,1 kg, situadas en los puntos 1 (0, 1, 1), 2 (1, 0, 0) y 3 (1, 1, 0) siendo sus velocidades:

Respuesta 7
El momento cinético del sistema es la suma de los momentos cinéticos de cada partícula.

El momento cinético de la partícula 1 es:

El de la partícula 2:

Y, el de la partícula 3 es:

Luego, el momento cinético del sistema será:

Pregunta 8
Un disco de momento de inercia I1 = 2 kg m2 que está girando con velocidad angular w1 alrededor de un eje sin rozamiento cae sobre otro disco (inicialmente en reposo) de momento de inercia I2 = 4 kg m2, situado en el mismo eje. Debido al rozamiento superficial entre los dos discos, éstos adquieren la misma velocidad angular w. ¿Cuál es la relación entre la energía cinética final e inicial?

Respuesta 8
El momento angular inicial es:

y el momento angular final:

Como se conserva el momento angular:

por tanto:

La energía cinética inicial es:

y la energía cinética final:

Sustituyendo la relación entre las velocidades angulares se tiene que la energía cinética inicial es:

Luego, la relación entre la energía cinética inicial y final es:

Pregunta 9
Un objeto de masa m cuelga de una cuerda arrollada alrededor de un cilindro de radio r y momento de inercia I. Calcular:

a) La aceleración angular con que gira el cilindro.

b) La aceleración lineal del objeto.

c) La tensión de la cuerda.

Respuesta 9
a) Apliquemos al objeto la ecuación fundamental de la dinámica de traslación y al cilindro la de la dinámica de rotación:

Ecuación de traslación: mg –- T = ma

Ecuación de rotación: Ia  = Tr

Y como a = ar, resolviendo el sistema que forman las dos ecuaciones anteriores llegamos a:

b) Luego, la aceleración lineal será:

c) Y la tensión de la cuerda es:

Pregunta 10
¿Cuál sería el efecto sobre la rotación de la Tierra si se fundieran los casquetes de hielo de los polos?

Respuesta 10
El agua se distribuiría por los mares y océanos de toda la Tierra, aumentando el momento de inercia y, por el principio de conservación del momento cinético, la velocidad de rotación de la Tierra disminuiría.