|
|
| Respuesta
1
|
| En
primer lugar, preparamos las unidades:
Luego:
1
año = 3,15 · 107 s
La velocidad
de la Tierra alrededor del Sol vale:
Y como ya
sabemos, la fuerza de gravitación es la fuerza centrípeta,
luego:
de donde:
El potencial
gravitatorio viene dado por la expresión:
|
|
|
|
| Respuesta
2 |
| La
intensidad del campo gravitatorio es la magnitud vectorial que indica
la fuerza por unidad de masa. En la superficie de la Tierra se conoce
como go y su módulo vale:
Y a una altura
h:
Si la condición
es:
o bien: go
= 4 · g, sustituyendo e igualando las expresiones anteriores
llegamos a:
Y simplificando:
(rT
+ h)2 = 4 · rT2
Es decir:
rT
+ h = 2 · rT Þ
h =
rT
Luego, el
campo se reduce a la cuarta parte precisamente a una altura igual
al radio de la Tierra.
|
|
| Respuesta
3 |
| a)
Busquemos, en primer lugar, una relación entre la intensidad
del campo gravitatorio de un cuerpo (en este caso el Sol) con el
período de revolución de una masa a su alrededor (la
Tierra).
Fuerza gravitatoria:
Fuerza centrípeta:
Igualando
estas dos expresiones:
Sustituyendo
datos:
El vector
g será en la dirección del radio Sol-Tierra
y sentido de la Tierra hacia el Sol.
Obsérvese
que si escribimos la ecuación anterior de esta otra forma:
llegamos
a:
T2
@ r3
expresión
que constituye la tercera ley de Kepler.
b)
Sea g el módulo de la intensidad del campo
gravitatorio del Sol a la distancia a la que se halla la Tierra:
Sea g’
el módulo de la intensidad del campo gravitatorio del
Sol a la centésima parte de distancia:
Combinando
ambas expresiones llegamos a:
g´
= 104 · g
como se ve
el campo se hace diez mil veces mayor.
|
|
|
|
| Respuesta
4
|
| a)
Teniendo en cuenta que la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta
podemos llegar a determinar la velocidad del satélite:
sustituyendo
datos:
Luego, el
momento angular valdrá:
Y como la
velocidad es tangente a la trayectoria, es perpendicular al vector
r, por tanto, el módulo del momento angular valdrá:
L
= rmv = 8 · 106 m · 2 · 103 kg ·
7,06 · 103 m/s = 1,13 · 1014 kg m2
s–1
Y su dirección
y sentido son los que muestra la siguiente figura:
b)
Su energía cinética valdrá:
Ec
= ½ mv2 = ½ · 2 · 103 kg · (7,06
· 103 m/s)2 = 4,98 · 1010 J
Y la potencial:
Y por tanto
la energía total valdrá:
E
= Ec + Ep = –4,99 · 1010
J
|
|
|
|
| Respuesta
5 |
| a)
Aplicando
la tercera ley de Kepler relacionamos el período de revolución
del Apolo VIII con la distancia a la que se encuentra:
T2
= kr3
Donde la
constante k para una nave que orbite alrededor de la Luna
vale:
Por lo que:
Es decir:
b)
Igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta podemos
obtener el valor de la velocidad lineal:
mientras
que la angular valdrá:
c)
Se conoce como velocidad de escape a la velocidad mínima
de lanzamiento de un cohete para que pueda librarse de la atracción
terrestre (o de cualquier cuerpo celeste). Vamos a suponer el
cohete en la Tierra para simplificar. Para calcularla vamos a
prescindir de la resistencia que ofrece la atmósfera.
Si queremos que un cohete lanzado desde la superficie terrestre
escape a la acción de la gravedad y no vuelva, habrá
que comunicarle una energía igual al trabajo necesario
para llevar la masa del cohete desde la superficie terrestre hasta
el infinito.
Sea m la masa del cohete en el infinito y en reposo. Tomemos
la Ep en el infinito igual a cero:
Ep
(¥)
= 0
Entonces,
la energía mecánica en el infinito será cero:
Em
(¥)
= Ep (¥)
+ Ec (¥)
= 0
Si debido
a la acción gravitatoria «va cayendo» hacia la Tierra,
en la superficie tendrá una energía cinética
y potencial que vendrán dadas por:
Ec
= ½ mv2
siendo r
el radio de la Tierra.
Como consecuencia del principio de conservación de la energía,
se cumplirá que:
Em
(¥)
= Em (superficie)
Luego:
de donde
podemos despejar v:
expresión
que constituye la velocidad de escape o también llamada
segunda velocidad cósmica.
Para nuestro caso (vehículo espacial y Luna):
|
|
|
|
| Respuesta
6 |
| a)
Representamos primero los vectores de campo producidos por la distribución
de masas en el centro del cuadrado:
El campo
total será la suma vectorial de los campos originados por
las distintas masas:
y todos ellos
tienen el mismo módulo, por tanto, su suma es 0, pues se
anulan dos a dos.
b)
Si consideramos
la partícula 1, la fuerza gravitatoria que actúa
sobre ella será la suma de las fuerzas que sobre la misma
ejercen las demás partículas. En forma vectorial:
Y sus módulos
serán:
Si situamos
el sistema de referencia en la partícula 1 (véase
figura), las fuerzas anteriores, en notación vectorial,
serán:
Así
pues, la fuerza total será:
Es decir:
Con lo que
el valor de dicha fuerza total será:
Análogamente,
se obtendría el mismo resultado para las otras tres partículas
debido a la simetría.
c) La energía potencial de una cualquiera
de las partículas vendrá dada por la suma escalar
siguiente:
Y al sustituir
los datos:
Ep
(partícula 1) = –7,22 · 10–10
J
|
|
|
|
| Respuesta
7 |
| a)
Si
el satélite no girara se precipitaría sobre la tierra.
La fuerza gravitatoria suministra
la fuerza necesaria para girar, es decir, la fuerza centrípeta.
Igualando, por tanto, esas dos fuerzas:
de donde:
sustituyendo
datos:
b)
El
período de revolución viene dado por:
|
| Respuesta
8 |
| La
velocidad mínima con que debe impulsarse el astronauta para
salir del asteroide es la llamada velocidad de escape, cuya expresión
es:
Vamos a calcular
la masa del asteroide y después la intensidad del campo
gravitatorio:
m
= Vr
= 4/3 p r3
r =
4/3 p ·
(1,2 · 103 m)3 · 2,2 · 103 kg/m3
= 1,59 · 1013 kg
luego, la
velocidad de escape en el asteroide será:
Si bien la
velocidad de escape no depende de la masa que «escapa», como se
observa en su expresión analítica, por tanto sería
la misma con o sin mochila, no ocurre lo mismo con la energía
necesaria para escapar pues la energía es directamente
proporcional a la masa que sale, en consecuencia, le sería
más difícil escapar con mochila, como parece indicar
el sentido común.
|
| Respuesta
9 |
a)
La fuerza que actúa sobre la Luna por efecto del campo gravitatorio
terrestre puede calcularse mediante la ley de Gravitación
Universal.
La energía potencial de una masa en un punto de un campo
gravitatorio se define como el trabajo que hay que realizar para
llevar la masa desde ese punto hasta el infinito:
por consiguiente,
sustituyendo valores:
b)
En ese punto los valores de los campos gravitatorios de la Tierra
y la Luna deben ser iguales en módulo pero de sentidos
opuestos ya que su dirección es la de la recta que une
los centros de ambos cuerpos. Llamando x a esa distancia
hasta el centro de la Tierra, y D a la existente entre
los centros, encontraremos, para las dos intensidades gravitatorias:
e igualando
ambas:
llegamos
a:
mT
(D – x)2 = mLx2
ecuación
de 2º grado en x cuya resolución proporciona dos
soluciones: x1 = 3,45 · 108 m y x2
= 4,32 · 108 m, el primero de ellos entre la Tierra
y la Luna, como buscamos, y el segundo más allá
de la órbita lunar donde los dos campos gravitatorios son
iguales y del mismo signo, con lo que se suman.
c) Para calcular el período de giro de la
Luna en torno a la Tierra, consideraremos que se encuentra en
órbita estable compensándose la atracción
gravitatoria debida a la Tierra y la fuerza centrípeta
debida al giro.
Como la velocidad
con que se mueve en la órbita puede calcularse dividiendo
su longitud por el tiempo que emplea, o período T del
giro de la Luna alrededor de la Tierra:
resulta,
sustituyendo y simplificando:
|
| Respuesta
10 |
| a)
Partiendo
de la ecuación de la velocidad:
se deduce:
b)
El
período es:
por tanto,
cada 24 horas ven:
Y, puesto
que es imposible ver medio amanecer, el número de amaneceres
observados es 16.
|
|