4

El campo eléctrico

Pregunta 1
En una región del espacio existe un campo eléctrico uniforme E = 1 000 N/C. En un punto P de esta región, donde supondremos que el potencial eléctrico es nulo, V(P) = 0, liberamos un protón con velocidad inicial nula. Calcula su energía potencial y su velocidad cuando se haya recorrido una distancia d = 10 cm.

Datos: e = 1,6 · 10–19 C; mp = 1,7 · 10–27 kg.

Respuesta 1
Situemos al vector en el eje OX, .

Vamos a suponer que el punto P es el (0, 0) y el D el (0, 0,1) m.

Cuando situamos una carga en el seno de un campo eléctrico, éste ejerce sobre ella una fuerza que viene dada por la expresión:

Esta fuerza realiza un trabajo a medida que la carga se desplaza bajo su acción en el campo. Así pues, el trabajo realizado por el campo al desplazar la carga entre los puntos P y D es:

Debido al carácter conservativo de la fuerza dada por la ley de Coulomb, el trabajo realizado para desplazar la carga entre P y D se traduce en una disminución de la energía potencial de modo que:

W = –DEp Þ DEp = –W

Es decir:

DEp = –1,6 · 10–17 J

Como:

DEp = Ep (D) – Ep (P)

entonces:

–1,6 · 10–17 = Ep (D) – 0 Þ Ep (D) = –1,6 · 10–17 J

Siendo el campo conservativo, como se ha dicho, se conserva la energía mecánica en cada punto:

Em(P) = Em(D)

En P el protón está en reposo, luego su energía cinética es cero, y además, por las condiciones del problema la energía potencial también, por lo que su energía mecánica es nula y en consecuencia:

0 = ½ mvD2 + Ep (D)

y sustituyendo datos:

0 = ½ · 1,7 · 10–27 kg · vD2 – 1,6 · 10–17 J

de donde:

vD = 1,4 · 105 m/s

Interpretación del signo negativo de la energía potencial: el trabajo es positivo porque la fuerza tiene el mismo sentido que el desplazamiento, (si se hubiera desplazado un electrón, la fuerza hubiera sido negativa). Esto quiere decir que el trabajo ha sido realizado por el campo, pero a costa de «algo», de energía potencial. Si en P, la Ep = 0, es lógico que en D sea negativa, pues esa disminución ha sido el trabajo realizado. Obsérvese además que las cargas positivas (protón) van hacia potenciales más bajos y que la carga, debido a ese trabajo, adquiere velocidad y, por tanto, energía cinética.

Pregunta 2
Un electrón parte de la posición indicada en la figura con una velocidad inicial de 5 · 106 m/s formando un ángulo de 45º con el eje X. El campo eléctrico entre las placas del condensador plano tiene la dirección Y positiva y su magnitud es de 3,5 · 103 N/C.

a) Encontrar la distancia mínima entre placas para que el electrón describa una trayectoria tal que vuelva a caer a la placa positiva y no choque con la negativa.

b) ¿Cuál sería el tiempo de vuelo en ese caso?

c) Calcular las componentes de la velocidad y el ángulo del vector velocidad con el eje X al cabo de 10–9 s de vuelo.

Datos: e = –1,6 · 10–19 C; masa del electrón = 9,1 · 10–31 kg.

Respuesta 2
a) La ecuación de posición, dado que se trata de un movimiento parabólico completo, viene dada por la expresión:

siendo la aceleración:

luego:

es decir:

La distancia mínima entre las placas correspondería a calcular la altura máxima que alcanzaría este electrón en su movimiento parabólico. Para su cálculo basta recordar que en la altura máxima vy = 0, luego:

de donde:

vy= 3,5 · 106 – 6,15 · 1014 · t = 0

entonces:

tiempo que tardaría en alcanzar la altura máxima.

Por tanto:

ymáx = 3,5 · 106 · t – 3,075 · 1014 · t2

Y sustituyendo el valor de t obtenido anteriormente:

ymáx = 9,95 · 10–3 m = 1 cm

b) El tiempo de vuelo se obtiene haciendo y = 0

3,5 · 106 · t – 3,075 · 1014 · t2 = 0

y resolviendo la ecuación que resulta, se obtiene:

t = 0

t = 1,14 · 10–8 s

c) Sustituyendo en la expresión del vector velocidad obtenida en el apartado a):

y el ángulo que forma el vector velocidad con el eje X al cabo de ese tiempo es:

Pregunta 3
Entre dos placas cargadas paralelas hay una diferencia de potencial de 200 V. En la región comprendida entre ambas placas existe un campo eléctrico de 400 N/C de módulo. Determine:

a) La separación entre las placas.

b) El módulo de la aceleración que experimenta una partícula situada entre las placas de 0,01 kg de masa con una carga de 10–4 C.

c) La variación de energía potencial eléctrica de dicha partícula si va de la placa negativa a la positiva.

Respuesta 3
a) El enunciado del problema queda reflejado en la siguiente figura:

Por la definición de diferencia de potencial y dado que el campo eléctrico es uniforme:

El desplazamiento entre las placas sería:

Y si el campo eléctrico tiene la dirección del eje X (E = Ei), al hacer el producto escalar se obtendrá:

VB – VA = –E (xB – xA) = –Ed

o bien:

VA – VB = Ed

Siendo d la distancia entre las placas.

Sustituyendo los datos:

200 V = 400 N/C · d Þ d = 0,5 m

b) La partícula cargada positivamente se desplaza hacia la placa negativa sometida a la fuerza eléctrica que actúa sobre ella. Así, aplicando la segunda ley de Newton y sabiendo que F = QE, llegamos a:

c) El campo va de la placa positiva a la negativa, luego si la partícula se mueve en sentido contrario deberá hacer un trabajo contra el campo, es decir, negativo:

Luego, sustituyendo los datos:

W = –10–4 C · 400 N/C · 0,5 m = –0,02 J

Y como el campo es conservativo:

∆Ep = –W = +0,02 J

es decir, la partícula gana energía potencial.

Pregunta 4
En una región del espacio (0 < x < 1 m y 0 < y < 1 m) existe un campo eléctrico. Sabiendo que el potencial eléctrico solamente varía a lo largo del eje X tal y como se muestra en la figura. Se pide:

a) ¿Cuánto vale el campo eléctrico en dicha región?

b) ¿Qué trabajo realizará el campo eléctrico para trasladar una carga eléctrica Q = 0,1 · 10–6 C desde el punto A (x1, y1) = (0,1, 0,3) hasta B (x2, y2) = (0,5, 0,8)? ¿Y si el punto final fuera C (x3, y3) = (0,5, 1)? (unidades en metros).

Respuesta 4
a) El campo es igual al gradiente del potencial con signo menos, es decir, a la derivada del potencial con respecto a x.

Y como se aprecia en la figura, el potencial sólo depende de x, luego podemos simplificar la expresión anterior en la forma:

La función V(x) es una recta que pasa por los puntos (0, 20) y (1, 0), cuya ecuación es:

V(x) = – 20x + 20

Luego, el campo valdrá:

b) El trabajo realizado por el campo eléctrico al desplazar una carga entre dos puntos cualesquiera, A (0,1, 0,3) y B (0,5, 0,8), vale:

Sustituyendo datos:

Y análogamente para los puntos A y C (0,5, 1):

Sustituyendo datos:

Este resultado no debe sorprender, ya que la línea BC es una superficie equipotencial (todos sus puntos tienen igual potencial, 10 V), el trabajo para ir de B a C es nulo, y el trabajo para ir de A a C puede escribirse como:

WAC = WAB + WBC = WAB

Pregunta 5
a) Explicar mediante una gráfica cómo varía el potencial gravitatorio creado por una masa m, si nos alejamos de ella. Razonar la respuesta.

b) Explicar mediante una gráfica cómo varía el potencial eléctrico creado por una carga Q positiva, si nos alejamos de ella. ¿Y si Q es negativa? Razonar las respuestas.

Respuesta 5
a) El campo gravitatorio se dirige hacia la masa m, ya que su sentido es siempre atractivo. En caso de alejarnos, el vector desplazamiento iría en sentido contrario, como se aprecia en la figura.

Como:

podemos llegar a:

luego:

Si V(¥) = 0, por definición, entonces:

Y gráficamente:

b) Si es una carga positiva la que crea el campo, la dirección de éste es saliente, luego en este caso lleva el mismo sentido que el vector desplazamiento. El producto escalar de estos dos vectores es positivo.

Como:

podemos llegar a:

de donde:

Si V(¥) = 0 por definición, entonces:

Y gráficamente:

Si la carga que crea el campo es negativa, estamos en el mismo caso que en a). El campo se dirige hacia la carga y lleva signo contrario al desplazamiento. Su producto escalar será negativo. La gráfica sería idéntica a la del apartado a), y el potencial vendría dado por:

Pregunta 6
Tenemos un campo eléctrico uniforme, dirigido verticalmente hacia abajo, cuya intensidad es de 10–11 NC–1. Se sitúa un electrón a 10 m de altura sobre el suelo, sometido a la acción del campo eléctrico y del campo gravitatorio,

a) ¿En qué sentido y con qué aceleración se moverá?

b) ¿Qué tiempo tardará en llegar al suelo? ¿O no caerá?

Datos: masa del electrón: me = 9,109 · 10–31 kg; valor absoluto de la carga del electrón: e = 1,6 · 10–19 C; gravedad terrestre: g = 9,8 ms–2.

Respuesta 6
a) La fuerza eléctrica se dirige hacia arriba, en sentido opuesto al campo y su valor será:

Fe = meae = eE

De donde podemos obtener la aceleración a la que está sometido ese electrón:

la aceleración que le produce la atracción gravitatoria hacia abajo es mayor, puesto que su valor es de 9,8 ms–2 y, por tanto, el electrón se moverá hacia el suelo con una aceleración igual a la diferencia entre ambas, es decir:

9,8 – 1,7 = 8,1 ms–2

Este comportamiento, que puede parecer anómalo para un electrón en un campo eléctrico, se explica por el débil valor de este último. Normalmente las fuerzas gravitatorias son despreciables frente a las eléctricas.

b) Para calcular el tiempo acudiremos a las leyes del movimiento uniformemente acelerado:

s = ½ at2

de donde:

Pregunta 7
La separación entre dos placas verticales metálicas cargadas con distinto signo, es de 15 cm en el vacío. El campo eléctrico uniforme entre las placas tiene por valor 3 000 N/C. Si un electrón se libera desde el reposo en un punto P sobre la placa negativa, determina:

a) Su velocidad en el momento de colisionar en un punto A de la otra placa. ¿En qué posición estará A respecto de P?

b) Si en el momento del lanzamiento en P se comunica al electrón una velocidad inicial vertical hacia arriba de 5 · 106 m/s, ¿qué trayectoria seguirá el electrón? ¿A qué distancia del punto A golpeará el electrón? ¿Lo hará por encima o por debajo de A?

Datos: carga del electrón = 1,6 · 10–19 C; masa del electrón = 9,1 · 10–31 kg. Desprecie la fuerza de la gravedad.

Respuesta 7
a) La situación gráfica del problema queda reflejada en la siguiente figura:

Supongamos el campo en la dirección positiva del eje OX: .

Al dejar libre el electrón adquirirá una aceleración que viene dada por la expresión:

Por otro lado, la velocidad y el vector de posición en cualquier momento serán, respectivamente:



Cuando el electrón llegue a la otra placa, habrá recorrido una distancia de –0,15 m, luego:

–0,15 = – 1/2 · 5,2 · 1014t2 Þ t = 2,4 · 10–8 s

que sería el tiempo que tarda el electrón en llegar a la placa opuesta.

Sustituyendo este valor en la ecuación de la velocidad habremos obtenido la velocidad con que llegará a la placa opuesta:

Como el electrón no se desvía, sino que se desplaza siguiendo las líneas de campo, el punto A será (–0,15, 0).

b) En este caso, la velocidad inicial será:

y la velocidad y la posición en cualquier instante serán, respectivamente:



Obsérvese que el tiempo que tarda en llegar a la otra placa es el mismo que en el caso anterior, aunque la trayectoria del electrón es ahora parabólica; luego:

y = 0,12 m

Es decir, el electrón golpea 12 cm por encima del punto A, en el punto A¢ (–0,15, 0,12).

Nota: el signo negativo de la aceleración no quiere decir que el movimiento sea decelerado, sino que su sentido es contrario al campo. Al ser la velocidad también negativa, se trata de un MUA.

Pregunta 8
Dos esferas muy pequeñas de 0,05 kg de masa y cargadas con idéntica carga, se encuentran en los extremos de dos hilos inextensibles y sin masa de 1 m de longitud, suspendidas del mismo punto. Si el ángulo que forma cada hilo con la vertical en la posición de equilibrio es de 30º:

a) Dibuja las fuerzas que actúan sobre cada una de las esferas.

b) Calcula la carga de cada esfera.

c) Calcula la tensión de los hilos en la posición de equilibrio.

Datos: k = 9 · 109 N m2/C2; g = 10 m/s2.

Respuesta 8
a) Las fuerzas que actúan sobre cada una de las esferas son las que aparecen en la siguiente figura:

b) Para calcular la carga de cada esfera establecemos la condición de equilibrio que exige que las fuerzas que sobre cada esfera actúan se anulen. Esto requiere que:

Eje X:

Eje Y:

P = Ty Þ mg = T cos 30º

Y combinando ambas, llegamos a:

de donde:

c) Para el cálculo de la tensión basta con sustituir en alguna de las dos condiciones de equilibrio, así:

Pregunta 9
Se tiene un plano de grandes dimensiones cargado con una densidad de carga s = 2 · 10–9 C/m2. Calcular el trabajo necesario para desplazar una carga de –2 · 10–6 C desde un punto A que dista 2 cm del plano a otro B que se encuentra a 8 cm.

Respuesta 9
El campo eléctrico viene dado por la expresión:

Luego, el trabajo será:

W = QDV = QE(rB – rA)

Y, sustituyendo datos:

W = – 2 · 10–6 C · 226,19 N/C · 6 · 10–2 m = – 2,71 · 10–5 J

Pregunta 10
Entre dos placas planas y paralelas separadas 5 cm se establece una diferencia de potencial de 1 500 V. Un protón se libera de la placa positiva en el mismo instante en que un electrón se libera de la placa negativa. Determinar:

a) A qué distancia de la placa positiva se cruzan.

b) La velocidad y la energía cinética con la que llega cada uno de ellos a la respectiva placa opuesta.

Datos: carga elemental: e = 1,6 · 10–19 C; masa del electrón: me = 9,109 · 10–31 kg; masa del protón: mp = 1,672 · 10–27 kg.

Respuesta 10
a) La diferencia de potencial entre ambas placas indica la existencia de un campo eléctrico entre ellas cuyo valor viene dado por:

Ambas partículas se moverán en sentidos opuestos con movimiento uniformemente acelerado.

El protón marcha hacia la placa negativa con una aceleración que viene dada por la expresión:

De idéntica forma calcularemos la aceleración del electrón:

Si tomamos el origen en la placa positiva y llamamos s al espacio recorrido por el electrón, el protón habrá salvado un espacio dado por 0,05 – s cuando ambas partículas se encuentren, lo que nos conduce a las siguientes ecuaciones:

s = ½ aet2

0,05 – s = ½ apt2

Dividiendo miembro a miembro, obtenemos:

Ecuación que, una vez resuelta, conduce a:

s = 0,0499 m

de acuerdo con la mayor aceleración adquirida por el electrón.

b) La energía cinética coincidirá con el trabajo realizado por el campo para transportar cada carga, es decir:

Ec = W = eV = 1,6 · 10–19 C · 1 500 V = 2,4 · 10–16 J

Con el mismo valor para ambas partículas, puesto que poseen la misma carga y atraviesan la misma diferencia de potencial.

No ocurre lo mismo con las velocidades, que dependen de la masa.

Para el protón:

y, sustituyendo los datos:

Mientras que para el electrón:

Resultado que concuerda con la mayor aceleración que experimenta el electrón.