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| Respuesta
1
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| a)
Aplicando
la ley de Hooke:
F
= –kDx
despejamos
k, que es la constante recuperadora del resorte, prescindiendo
del signo negativo que sólo indica el sentido de la fuerza
con relación al desplazamiento.
b)
Al desplazar la masa 5 cm, hemos ejercido una fuerza de
sentido hacia abajo y cuyo módulo vale:
F
= 10 N/m · 5 · 10–2
m = 0,5 N
La fuerza
recuperadora del muelle valdrá lo mismo y proporcionará
una aceleración que viene dada por:
cuyo sentido
será hacia arriba en el instante en que se suelta.
La ecuación
general de un movimiento vibratorio armónico simple (MAS,
en adelante) es:
x
= A cos (wt
+ d)
Si no existen
amortiguaciones, la amplitud será:
A
= 5 · 10–2
m
Por otra
parte, la frecuencia angular viene dada por:
El período
y la frecuencia serán:
Y la constante
de fase o fase inicial, d,
teniendo en cuenta que para t = 0 s, x = 5 · 10–2
m:
5
· 10–2 m = 5 · 10–2 m · cos d
Þ cos
d =
1 Þ d
= 0
Luego, la
ecuación de este MAS es:
x
= 5 · 10–2 cos 10t
En la posición
de equilibrio x = 0:
que corresponde
a ¼ T.
Derivando
la ecuación del movimiento armónico, respecto al
tiempo, obtenemos la velocidad:
v
(t) = –Aw
sen wt
= –5
· 10–2
· 10 · sen 10t = –0,5 sen 10t
En la posición
de equilibrio t = p
/20 s, luego:
c)
Para hacer la representación gráfica escribimos
la ecuación del movimiento de esta otra forma:
Para ello
hemos tenido en cuenta que w
= 2p
/T.
|
t
(s)
|
0
|
T/4
|
T/2
|
3T/4
|
T
|
|
x
(m)
|
5
· 10–2
|
0
|
–5
· 10–2
|
0
|
5
· 10–2
|
De este modo,
la representación gráfica es:
|
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Pregunta 2
|
Un
péndulo simple está construido con una bolita suspendida
de un hilo de longitud l = 2m. Para pequeñas oscilaciones,
su período de oscilación en un cierto lugar resulta
ser T = 2,84 s.
a) Determina la intensidad del campo gravitatorio
en el lugar donde se ha medido el período.
b) Considera que el movimiento de la bolita es prácticamente
paralelo al suelo, a lo largo de un eje OX con origen, O,
en el centro de la oscilación. Sabiendo que la velocidad
de la bolita cuando pasa por O es de 0,4 m/s, calcula la amplitud
de su oscilación y representa gráficamente su posición
en función del tiempo, x (t). Toma origen para
el tiempo, t = 0, en un extremo de la oscilación. |
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| Respuesta
2 |
| a)
La relación
entre el período de un péndulo simple y la intensidad
del campo gravitatorio en un punto viene dada por la expresión
7.16:
a partir
de la cual podemos determinar el valor del campo gravitatorio:
b)
Cuando pasa por el punto más bajo de la trayectoria,
x = 0, la velocidad de la bolita es máxima y vale:
y sustituyendo
los datos:
El péndulo
se moverá con una ecuación de la forma:
x
= A cos (wt
+ d)
donde:
Y, además,
si para t = 0, x = A, entonces cos d
= 1 y d
= 0, por tanto:
|
t
(s)
|
0
|
T/4
|
T/2
|
3T/4
|
T
|
|
x
(m)
|
0,18
|
0
|
–0,18
|
0
|
0,18
|
|
|
Pregunta 3
|
| La
ecuación del movimiento de una partícula, de masa
100 g, unida al extremo de un resorte viene dada por:
x
= 0,4 cos (0,7t – 0,3) m
Se pide:
a) Amplitud y período del movimiento.
b) Energía cinética de la partícula
en el instante t = 2 s.
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|
| Respuesta
3 |
| a)
Si comparamos
la ecuación del enunciado con la genérica del oscilador
armónico:
x
= A cos (wt
+ d
)
obtenemos:
A
= 0,4 m
b)
La energía cinética viene dada por la expresión:
Ec
= ½ mv2
Para calcular
la velocidad del oscilador, procederemos de la siguiente manera:
Para t
= 2 s:
v
= –0,25 m/s
Luego:
Ec
= ½ mv2 = ½ · 0,1 kg · (–0,25 m/s)2
= 3,125 · 10–3
J
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|
| Respuesta
4
|
| a)
La ecuación
será de la forma:
y
= A cos (wt
+ d
)
donde:
A
= 0,1 m
Para calcular
d
vemos que en t
= 0 la masa está en y = 0,1 m, luego:
0,1
= 0,1 cos d Þ
d =
0
Por tanto:
y
= 0,1 cos 10t
b)
Al
derivar dos veces respecto al tiempo la ecuación y(t)
obtenemos la aceleración:
Luego, si
a = 0, entonces:
0
= –10 cos 10t
Þ cos
10t
=
0
y esto ocurre
cuando:
donde n
= 0, 1, 2…
Como además,
el número 10 que acompaña al tiempo representa la
frecuencia angular y ésta es igual a 2p/T,
podemos escribir que los puntos en los que la aceleración
es nula cumplen que:
Son, por
tanto, puntos para los que el tiempo es un número impar
de cuartos del período: T/4, 3T/4…
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|
| Respuesta
5 |
Se
trata de un movimiento vibratorio armónico simple (MAS) donde
k representa la constante recuperadora, o bien, la frecuencia
angular al cuadrado.
La fuerza
de este tipo de movimientos es proporcional al desplazamiento, según
la ley de Hooke:
F
= –ky
donde k
es la constante recuperadora del resorte.
Por
el principio fundamental de la dinámica:
F
= ma
de donde:
Como a su
vez:
La ecuación
de este movimiento es de la forma:
ecuación
cuya solución es la función:
y(t)
= A cos (wt
+ d
)
que representa
un MAS y donde A es la amplitud, w,
la frecuencia angular y d
, la fase inicial. Al
término wt
+ d
se le llama fase del
movimiento y se mide en radianes.
Derivando
dos veces respecto al tiempo obtenemos la aceleración:
y de esta
relación deducimos que:
por lo que
la ecuación del movimiento se podría expresar así:
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| Respuesta
6 |
| a)
Calculemos
la constante recuperadora del muelle:
k
= mw2
donde:
w =
2pf
= 2p
rad/s
luego:
k
= 75 kg · (2p
rad/s)2 =
300p 2
N/m
Al sentarse
una persona de 50 kg, la constante k sigue valiendo lo
mismo, pero ahora:
y, por consiguiente:
b)
Aplicando la ley de Hooke:
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| Respuesta
7 |
a)
El período vale 2 s pues es el tiempo que tarda en
producirse una oscilación completa: ida y vuelta.
b) Para calcular la energía cinética
necesitamos conocer la velocidad de la masa, que obtendremos derivando
su ecuación de movimiento, una vez hallada ésta:
x
= A sen (wt
+ d)
donde:
Y como x
= 0 si t = 0, entonces d
= 0 o d
= p,
y así llegamos a:
x
= 2,5 sen pt
x =
2,5 sen (pt
+ d)
Luego la
velocidad valdrá:
que para
t = 2,75 s:
v
= 2,5p
cos 2,75p
= ± 5,55 cm/s
luego la
energía cinética valdrá:
Ec
= ½ mv2 = ½ · 10–3 kg · (–5,55
· 10–2 m/s)2 = 1,5 · 10–6
J
c)
La energía potencial en cualquier instante vale:
Ep
= ½ kx2 = ½ kA2 sen2
wt
= ½ mw2A2
sen2 wt
Igualando
esta ecuación a la de la energía cinética:
½
mw2A2
cos2 wt
= ½
mw2A2
sen2 wt
y simplificando:
cos
wt
= sen wt
igualdad
cierta si se cumple que:
Es decir,
las energías coinciden cuando ha transcurrido 1/8 del período
(0,25 s).
|
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Pregunta 8
|
| Una
partícula de 2 kg de masa está sujeta al extremo de
un muelle y se mueve de acuerdo con la ecuación:
x
(t) = 2 cos (10t) m
Calcule las
siguientes magnitudes:
a) El período del movimiento.
b) La constante de fuerza (cociente entre la fuerza
y el desplazamiento) de la fuerza que actúa sobre la partícula.
c) La energía total de la partícula.
|
| Respuesta
8 |
| a)
Según la ecuación A = 2 m y w
= 10 rad/s, luego el período valdrá:
b)
La constante k viene dada por la expresión:
k
= mw2
= 2 kg · (10 rad/s)2 = 200 N/m
c)
La energía total vale:
E
= ½ kA2 = ½ · 200 N/m · (2 m)2 =
400 J
|
| Respuesta
9 |
| a)
La energía
de un oscilador armónico de constante recuperadora k
es:
Si se duplica
la energía, manteniéndose el mismo muelle (es decir
con la misma constante k), es porque ha cambiado la amplitud:
por tanto
la amplitud es:
La frecuencia
de las vibraciones es:
y como no
ha cambiado ni la masa ni la constante del muelle, la frecuencia
es la misma.
b) El período de las oscilaciones es el mismo
ya que:
La velocidad
de un MAS es:
v
= –Aw
sen (wt
+ d)
la frecuencia
w
no ha cambiado pero si ha cambiado la amplitud, por lo que la
velocidad nueva es:
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| Respuesta
10 |
| a)
La fuerza que se ejerce sobre la masa es:
F
= –kx
= ma
Por tratarse
de un MAS:
x
= A cos (wt
+ d )
y, por tanto
la aceleración valdrá:
a
= –Aw2
cos (wt
+ d)
y el máximo
valor de la aceleración es:
a
= Aw2
Como conocemos
la aceleración máxima, la frecuencia angular será:
18,75
m/s2 = 0,03 w2
Þ w
= 25 rad/s
b)
La constante
elástica es:
k
= mw2
= 4,5 kg · (25 rad/s)2 = 2812,5 N/m
c)
El período
es:
|
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