|
|
| Respuesta
1 |
| a)
Dado que se trata de una onda armónica que avanza en el sentido
positivo del eje X, es decir, hacía la derecha, su ecuación
tendrá la siguiente forma:
y
(x, t) = A sen k (x –
vt)
donde A
es la amplitud, k el número de onda, y v
la velocidad.
Por tanto, a partir de los datos de que disponemos, podemos averiguar
los parámetros k y w
:
w
= kv = 3,14 · 102 m–1 · 2 m/s
= 6,28 · 102 rad s–1
Puesto que
la amplitud se ofrece directamente en el enunciado, la ecuación
de esta onda es:
y
(x, t) = 0,03 sen 314 (x – 2t) m
b)
En t = 0,01 s, la ecuación de onda sería:
y
(x) = 0,03 sen 314 (x – 2 · 0,01) = 0,03 sen
(p ·
102x – 2p)
o también:
y
(x) = 0,03 sen (102px)
= 0,03 sen kx
Para dibujar
su perfil, en función de x, vamos a volver a escribir
su ecuación, recordando que k = 2p/l,
luego:
y dando valores
a x hasta completar una longitud de onda:
|
x
(m)
|
0
|
l/4
|
l /2
|
3l/4
|
l
|
|
y
(m)
|
0
|
0,03
|
0
|
–
0,03
|
0
|
Luego, la representación gráfica es:
La velocidad
de oscilación de cualquier punto de la onda viene dada
por la expresión:
v
será máxima, en valor absoluto (vamos a prescindir
del signo negativo que sólo indica sentido del movimiento),
cuando:
cos
(x – vt) = 1
Esto ocurre
en los puntos en que x – vt = 0, es decir,
cuando x = vt.
Para t = 10–2
s, siendo v = 2 m/s; x = 2 · 10–2
m, precisamente una longitud de onda. Por tanto, en x =
2 · 10–2
m, la velocidad es máxima.
Si derivamos la velocidad, obtenemos la aceleración de
la partícula:
o bien:
a
=– –w2x
La aceleración
será máxima en los puntos en que x sea máxima,
esto es, en:
|
|
|
Pregunta 2
|
| La
ecuación de una onda que se propaga por una cuerda es:
y
(x, t) = 0,5 sen p
(8t – 4x) (en unidades SI)
a)
Determine la velocidad de propagación de la onda y la velocidad
de un punto de la cuerda y explique el significado de cada una
de ellas.
b) Represente gráficamente la posición
de los puntos de la cuerda en el instante t = 0, y la elongación
en x = 0 en función del tiempo.
|
|
| Respuesta
2 |
| a)
Teniendo en cuenta que la ecuación general de una
onda es:
y
= A sen (kx – wt)
obtenemos,
por comparación:
A
= 0,5 m
w =
8p rad/s
k = 4p
m–1
Y puesto,
que a su vez:
la velocidad
de propagación será:
La velocidad
de un punto de la cuerda se obtiene derivando respecto al tiempo
la ecuación de la onda:
La velocidad
de propagación de la onda es la de avance de la perturbación
y depende de las propiedades del medio por el que se transmite
(densidad, tensión, etc.) y es constante si el medio es
isótropo, mientras que la velocidad de un punto es la velocidad
individual de las partículas oscilantes o velocidad de
vibración y varía con el tiempo.
b) Si t = 0, entonces:
y
(x) = 0,5 sen (–4px)
= – 0,5 sen 4px
Vamos a volver
a escribirla haciendo el cambio k = 2p/l
, para representarla
en función de la longitud de onda:
donde:
|
x (m)
|
0
|
l/4
|
l/2
|
3l/4
|
l
|
|
y (m)
|
0
|
–
0,5
|
0
|
0,5
|
0
|
Para x
= 0, representamos y (t) = – 0,5 sen 8pt,
que vamos a reescribir de esta otra manera, recordando que w
= 8p y
que T = 2p/w:
|
t (s)
|
0
|
T/4
|
T/2
|
3T/4
|
T
|
|
y
(m)
|
0
|
–
0,5
|
0
|
–
0,5
|
0
|
|
|
Pregunta 3
|
| Un
movimiento ondulatorio longitudinal cuya ecuación es:
X
(x, t) = X0 sen p
(100t
– x)
Donde X0
= 0,2 cm, t se expresa en segundos y x en
centímetros, se está propagando en un cierto medio.
En un instante t0 = 0 s, un punto situado en
x0 = 10 cm se encuentra en un determinado estado
de movimiento: posición, velocidad y aceleración.
Calcular cuánto tiempo transcurrirá para que un
punto situado a x1 = 21 cm alcance el mismo
estado de movimiento que el anterior.
|
|
| Respuesta
3 |
| La
ecuación de este movimiento para cualquier posición
x y en cualquier instante t es la siguiente:
X
(x, t) = 0,2 sen p
(100t
– x) (1)
La longitud
de onda de este movimiento, l,
viene dada por la expresión:
donde el
número de onda, k, vale p
cm–1,
por ello:
l
= 2 cm
La ecuación
de la velocidad de cada partícula para cualquier x
y t, es la derivada de la ecuación (1):
Y la ecuación
de la aceleración:
En la posición
x = 10 cm y en el instante t = 0 s, estas tres magnitudes
valen:
X
(10, 0) = 0,2 sen p (100
· 0 – 10) = 0
v
(10, 0) = 20p cos
p (100
· 0 – 10) = 20p cm/s
a
(10, 0) = – (100p)2
· 0 = 0
Veamos ahora
en qué tiempo la posición x = 21 cm posee
los mismos valores calculados de x, v y a:
X
(21, t) = 0,2 sen p
(100t – 21) = 0
De donde:
sen
p (100t
– 21) = 0 Þ
100t – 21 = 0 Þ
t =
0,21 s
Y el tiempo
para que alcance la misma velocidad y aceleración será:
Para la velocidad:
de donde:
Para la aceleración: como la aceleración y la posición
son función del seno, toman el valor anterior para el mismo
valor del tiempo, es decir para t = 0,21 s.
|
|
|
Pregunta 4
|
| Una
onda transversal y sinuosidad de la forma:
y
= A sen (kx + wt)
tiene una
frecuencia de 50 Hz y se desplaza con una velocidad de 0,32 m/s.
En el instante inicial la velocidad de la partícula situada
en el origen tiene un valor de 4 m/s. Se pide:
a) Indicar el sentido de propagación de la
onda a lo largo del eje X.
b) Calcular la amplitud, el número de
onda y la frecuencia angular w.
|
|
| Respuesta
4 |
| a)
Esta onda se propaga hacia la izquierda, puesto que el signo
de la velocidad de la perturbación es negativo. Si la onda
se desplazara hacia la derecha su ecuación sería:
y
= A sen (kx – wt)
b)
Según el enunciado f = 50 Hz y v = 0,32 m/s,
luego la frecuencia angular vale:
w =
2pf
= 100p
rad/s
y el número
de onda:
Para calcular
la amplitud recurrimos a otro dato del enunciado: «… en el instante
inicial la velocidad de la partícula situada en el origen
tiene un valor de 4 m/s», luego:
como v
= 4 m/s para t = 0 y x = 0, entonces:
Aw
= 4
de donde:
|
|
|
|
| Respuesta
5 |
| a)
Como f = 50 Hz, entonces la frecuencia angular será:
w =
2pf
= 100p
rad/s
y el período:
Para una
onda armónica que se propaga en la dirección positiva
del eje X:
y
= A sen (kx – wt)
donde
kx – wt
es la fase, d.
Si llamamos:
d1
= kx1 – wt
d2
=
k (x1 + 20) – wt
la diferencia
de fase será:
de donde:
y conocido
el número de onda, k, podemos determinar la longitud
de onda, l:
mientras
que la velocidad de propagación será:
b)
En este caso:
|
|
|
Pregunta 6
|
| La
ecuación de una onda transversal que se propaga por una cuerda
tensa de gran longitud es:
y
= 16 sen 2p (0,80t
– 1,25x)
Donde x
e y se expresan en cm y t en segundos.
Determinar:
a) La velocidad de fase de la onda.
b) Los valores de la velocidad máxima y de
la aceleración máxima de oscilación de un
punto cualquiera de la cuerda.
c) La distancia que separa los puntos de la cuerda
que oscilan en oposición de fase.
|
|
| Respuesta
6 |
| a)
Si comparamos la ecuación del enunciado con una ecuación
general para una onda:
y
= A sen (wt
– kx)
e identificamos
términos:
A
= 16 cm
k = 2p ·
1,25 = 2,5p
cm–1
w =
2p ·
0,80 = 1,6p rad/s
Por otra
parte sabemos que la velocidad de propagación viene dada
por la expresión:
b)
La velocidad de oscilación de cualquier punto de la onda
viene dada por la expresión:
por lo que
la velocidad máxima de oscilación de cualquier punto
será:
vt
máx = Aw
=
16 cm · 1,6p
rad/s = 80,38 cm/s
Para el cálculo
de la aceleración de oscilación de cualquier punto
derivaremos la velocidad:
Y, por tanto,
el módulo de la aceleración máxima de oscilación
será:
at
máx = Aw2
= 16 cm · (1,6p
rad/s2)2 = 403,85 cm/s2
c)
Los puntos de la cuerda que oscilan en oposición
de fase distan números impares de semilongitudes de onda:
donde n
es igual a 0, 1, 2, etcétera.
Luego, dos puntos en oposición de fase se encontrarán
separados por l/2,
es decir 0,4 cm.
|
|
|
Pregunta 7
|
| Una
onda en una cuerda viene dada por la ecuación:
y
(x, t) = 0,2 sen (px)
· cos (100pt)
m
en donde
x está comprendido entre 0 y 6 m. Calcule:
a) La longitud de onda y la frecuencia angular de
la onda.
b) El número total de nodos (incluidos los
extremos).
c) La velocidad de propagación de las ondas
de la cuerda.
|
|
| Respuesta
7 |
| a)
Teniendo en cuenta que la ecuación general de una
onda estacionaria es:
y
= 2A sen kx · cos wt
donde A,
k y w son,
respectivamente, la amplitud, el número de onda y la frecuencia
angular de las ondas componentes, entonces, por comparación
con nuestra onda:
2A
= 0,2 Þ A
= 0,1 m
k =
p
m–1
w =
100p
rad/s
b)
La distancia entre dos nodos es una semilongitud de onda,
l/2,
es decir, 1m. Por tanto habrá 2l/l
nodos, donde
l es la longitud de la cuerda al que habrá que añadir
un nodo más del extremo:
c)
La velocidad de propagación de las ondas es:
|
| Respuesta
8 |
| a)
Como el período vale 3 · 10–3 s,
la frecuencia angular valdrá:
Por otro
lado, si x2 = x1 + 20, indica
que se mueve a la derecha del eje X y por tanto, si d1
es la fase del punto x1
d1
= kx1 – wt
y
d2
la del punto x1 + 20:
d2
= k (x1 + 20) – wt
la diferencia
de fase será:
d2
–
d1
= k (x1 + 20) – wt
– (kx1
– wt)
= 20k
y, como a
su vez:
entonces:
Luego, la
longitud de onda valdrá:
mientras
que la velocidad de propagación será:
b)
Si el período se duplicara, la frecuencia angular,
w,
se reduciría a la mitad y la velocidad de propagación
de la onda se reduciría también a la mitad.
|
| Respuesta
9 |
a)
Esta onda debe ser estacionaria porque es un caso de interferencia
en un medio confinado. Es una cuerda sujeta por sus dos extremos
y la onda que se produce al pulsarla interfiere con su onda reflejada.
Precisamente esta es la definición de onda estacionaria:
ondas producidas cuando interfieren dos ondas idénticas que
avanzan con la misma velocidad, en la misma dirección pero
con sentidos contrarios.
b) Los nodos son cuatro en total: dos son los extremos,
otro está situado a 30 cm de un extremo y el restante a 60
cm de ese mismo extremo y se cumple que:
Como la distancia
entre dos nodos consecutivos es una semilongitud de onda, entonces:
Y, como además:
indica que
está vibrando en el tercer armónico.
c) Como se ha visto, la longitud de onda vale 60
cm.
Para obtener la frecuencia necesitamos conocer la velocidad de
propagación de la onda, en cuyo caso la frecuencia se calcularía
a través de la expresión:
Y, si se
conociera el período, la frecuencia sería la inversa
de éste.
|
| Respuesta
10 |
| a)
Para escribir la ecuación de la onda armónica
generada en la cuerda calculamos, con los datos del enunciado, la
frecuencia angular y el número de onda, así:
w =
2pf
= 2p ·
10 Hz = 20p
rad/s
Por consiguiente,
la ecuación de la onda armónica tendrá la
siguiente forma:
y
(x, t) = 0,002 sen p
(20t – x)
b)
Si en la ecuación anterior suponemos un tiempo,
t, determinado, la ecuación tomaría la forma:
y
(x) = 0,002 sen (px
+ d1)
donde d1
es la fase inicial y para x = 0:
y
(0) = 0,002 sen d1
que representa
el estado de vibración de los diversos puntos del medio
en ese instante y viene dada por una curva sinusoidal.
Si hacemos x fijo, estudiamos lo que le sucede a ese punto
determinado a lo largo del tiempo. La ecuación también
es una función sinusoidal y nos da el estado de vibración
de dicho punto en el transcurso del tiempo:
y
(t) = 0,002 sen (20pt
+d2)
donde d2
es la fase inicial y para t = 0:
y
(0) = 0,002 sen d2
|
| Respuesta
11 |
| a)
La longitud de onda viene dada por la expresión:
b)
Para escribir la ecuación de la onda necesitamos
conocer previamente el valor de la frecuencia angular y del número
de onda, así:
w =
2pf
= 60p
rad/s
luego, dicha
ecuación será:
c)
La energía será:
y la energía
por unidad de longitud:
Sustituyendo
datos:
|
| Respuesta
12 |
| a)
La velocidad de esta onda es:
luego, la
frecuencia será:
y por tanto
la frecuencia angular valdrá:
w =
2pf
= 2p rad/s
y en consecuencia,
el número de onda será:
b)
La ecuación de onda es:
y
(x, t) = A sen p
(2t – 4x)
como en x
= 0 y t = 0,25 s la elongación, y, vale 4
cm:
y
(0, 0,25) = 0,04 m
sustituyendo
en la ecuación de onda:
0,04
= A sen p (0,5)
Þ A
= 0,04 m
c)
La elongación en el punto pedido valdrá:
y
(6, 12) = 0,04 sen p
(2 · 12 – 4 · 6) = 0
|
| Respuesta
13 |
a)
Para
que existan 6 nodos es necesario que existan 5 semilongitudes de
onda, luego si abarcan 2,5 m, la longitud de onda, l,
vale 1 m.
Como la amplitud máxima de la onda estacionaria es el doble
de las amplitudes de las ondas que la componen, la amplitud de cada
una de ellas es 5 cm.
Para calcular el período tendremos en cuenta que:
b)
La
ecuación general de una onda estacionaria viene dada por
la expresión:
y
= 2A sen kx · cos wt
donde, sustituyendo
datos:
|
|