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Óptica geométrica

Pregunta 1
Calcula las posiciones y tamaños de las imágenes dadas por la lente de la figura de los dos objetos O1 y O2, ambos de altura y = 1 cm. Comprueba gráficamente tus resultados, mediante trazados de rayos.

Respuesta 1
La lente de la figura es una lente convergente. La posición de la imagen producida por una lente depende de la posición del objeto y de la distancia focal imagen de la lente según la fórmula gaussiana de las lentes delgadas:

Así para la imagen de O1 (so > f), y aplicando la expresión anterior:

como si es positivo indica que la imagen es real.

En cuanto al aumento de la imagen:

y, sustituyendo datos:

h´ = – 2 cm

Por tanto, la imagen es aumentada (2 veces) e invertida.

Es decir la imagen es real, invertida y aumentada.

Gráficamente:

Para la imagen de O2 (so < f):

como si es negativo indica que la imagen es virtual.

En cuanto al aumento de la imagen:

y, sustituyendo datos:

h´ = 4 cm

Por tanto, la imagen es aumentada (4 veces) y derecha.

Es decir la imagen es virtual, derecha y aumentada.

Gráficamente:

Pregunta 2
Indicar las características de la imagen de un objeto situado ante un espejo cóncavo que se encuentra en el punto medio entre el foco y el centro del mismo.

Respuesta 2
Aplicando el método del diagrama de rayos que aparece en la página 299 del Libro del alumno llegamos a:


De la ecuación de los espejos:

y teniendo en cuenta que:



llegamos a:

y en cuanto al tamaño:

Es decir:

h´ = – 2h

Luego, la imagen de este objeto es real, invertida y aumentada (dos veces).

Pregunta 3
Un espejo esférico, cóncavo, ha de formar una imagen invertida de un objeto en forma de lápiz sobre una pantalla situada a una distancia de 420 cm delante del espejo. El objeto mide 5 mm y la imagen ha de tener una altura de 30 cm. Determinar:

a) A qué distancia del espejo debe colocarse el objeto.

b) El radio de curvatura del espejo.

Efectuar la construcción geométrica de la citada imagen.

Respuesta 3
a) Aplicando la ecuación del aumento de la imagen:

y sustituyendo datos:

b) A partir de la ecuación de los espejos:

y sustituyendo los datos:

y como esta distancia es la mitad del radio:

r = 2f = 13,76 cm

Pregunta 4
Circulamos en un coche que lleva un espejo retrovisor, convexo, de radio de curvatura r = 2 m. Al pasar junto a un guardia de circulación, el conductor pone en marcha su cronómetro y cuando la imagen del guardia en el retrovisor es de 10 mm lo para, viendo que el tiempo transcurrido es de 21 s. Si la velocidad del coche se ha mantenido constante e igual a 32,40 km/h, determinar:

a) La distancia del guardia al coche en ese momento.

b) La estatura del guardia.

Respuesta 4
a) Como la velocidad permanece constante:

s = vt

y sustituyendo datos:

s = 9 m/s · 21 s = 189 m

b) Aplicando la ecuación de los espejos, calculamos la distancia a la que se forma la imagen:

sabiendo que f = r/2 = 1 m y sustituyendo datos:

y con la ecuación del aumento de la imagen:

y sustituyendo los datos:

Pregunta 5
Realizando las construcciones gráficas oportunas, deduzca qué características tiene la imagen que se forma en un espejo cóncavo esférico cuando el objeto se halla:

a) Entre el foco y el vértice del espejo.

b) A una distancia mayor que el radio de curvatura del espejo.

Respuesta 5
a) En este caso so < f y entonces:

Por tanto, la distancia si < 0, es decir, la imagen se forma en el lado virtual.

Y aplicando el diagrama de rayos:

Vemos que la imagen derecha y de mayor tamaño que el objeto.

b) En este caso so > r, y aplicando el diagrama de rayos:

Vemos que la imagen es real, invertida y de menor tamaño que el objeto.

Pregunta 6
Se coloca un objeto de 10 cm de altura a 0,2 m de una lente biconvexa de 2 dioptrías.

a) Obtener gráficamente la posición y tamaño de la imagen que resulta. ¿Es real o virtual?

b) Calcular analíticamente dichas posición y tamaño.

Respuesta 6
a) La distancia focal de esta lente es la inversa de su potencia, es decir:

Aplicando el método del diagrama de rayos:

Obtenemos una imagen virtual, derecha y de mayor tamaño que el objeto.

b) Analíticamente: la distancia a la que se forma la imagen responde a la fórmula gaussiana de las lentes delgadas:

es decir:

por tanto, la imagen se forma en el lado virtual, a 33,3 cm del vértice.

Y su tamaño será:

puesto que h´ es positiva la imagen es derecha. Por tanto, la imagen es virtual (si = – 33,3 cm), derecha (h´ > 0) y aumentada (h´ = 16,65 cm), como corresponde a una lente biconvexa en la que so es menor que f.

Pregunta 7
Se tiene una lente bicóncava con radios de curvatura de 20 y 40 cm. Su índice de refracción es de 1,8. Un objeto de 3 mm se coloca a 50 cm de la lente. Calcule:

a) La potencia óptica de la lente.

b) Dónde se forma la imagen.

c) El tamaño de la imagen.

Respuesta 7
Aplicando el método del diagrama de rayos vemos que la imagen es virtual, derecha y disminuida:

a) En la fórmula de las lentes:

al ser una lente bicóncava e incidir la luz por el lado izquierdo r1 = – 0,2 m y r2 = 0,4 m, luego:

b) La distancia a la que se forma la imagen responde a la siguiente expresión:

es decir:

de donde:

c) En cuanto al tamaño:

Pregunta 8
Una lente planoconvexa está hecha de un plástico con un índice de refracción de 1,7 y sus distancias focales son iguales a 40 cm. Calcule:

a) El radio de curvatura de la lente.

b) Distancia a la que focaliza un objeto de 2 mm de tamaño situado a 0,8 m de la lente.

c) Tamaño de la imagen producida por el objeto anterior.

Respuesta 8
a) Se trata de una lente convergente. Aplicando la ecuación de las lentes:

y sustituyendo los datos:

b) Por aplicación de la fórmula gaussiana de las lentes delgadas:

de donde:

c) Y su tamaño será:

Pregunta 9
Una lente bicóncava simétrica posee una potencia óptica de –2 dioptrías y está formada por un plástico con un índice de refracción de 1,8. Calcule:

a) La velocidad de la luz en el interior de la lente.

b) Los radios de curvatura de la lente.

c) Dónde hemos de colocar un objeto para que el tamaño de su imagen sea la mitad que el del objeto.

Respuesta 9
a) Por definición del índice de refracción:

b) Como es una lente bicóncava simétrica (r1 = r2), la expresión 11.19 queda en la forma:

y sustituyendo datos:

c) Si en la ecuación:

hacemos h´ = h/2, llegamos a:

y como además:

sustituyendo datos:

Pregunta 10
Un objeto luminoso de 2 mm de altura está situado a 4 m de distancia de una pantalla. Entre el objeto y la pantalla se coloca una lente esférica delgada, L, de distancia focal desconocida, que produce sobre la pantalla una imagen tres veces mayor que el objeto.

a) Determine la naturaleza de la lente L, así como su posición respecto del objeto y de la pantalla.

b) Calcule la distancia focal, la potencia de la lente L y efectúe la construcción geométrica de la imagen.

Respuesta 10
a) La relación entre los tamaños de la imagen y el objeto está relacionada con las distancias de objeto e imagen con la lente según la expresión:

ya que no se nos indica si se trata de una imagen derecha o invertida.

Por otra parte, la suma de los valores de las distancias del objeto y de la imagen es 4 m, por lo que:

– so + si = 4

donde se ha tenido en cuenta que la distancia del objeto a la lente es negativa por estar situado a su izquierda.

Si suponemos que la imagen es invertida, el sistema de ecuaciones tiene como solución: so = –1 m y, entonces: si = 3 m

b) Teniendo en cuenta la ecuación de las lentes:

y, sustituyendo los datos:

se trata de una lente de 0,75 cm de distancia focal y es convergente.