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Principios de la Relatividad especial

Pregunta 1
Cuando una nave espacial está en reposo, su longitud es de 50 m ¿Qué longitud medirá el mismo observador cuando la nave se mueva con una velocidad de 2,4 · 108 m/s?

Respuesta 1
Aplicando las transformaciones de Lorentz:

donde l ´ es la longitud de la nave en movimiento y l su longitud en reposo.

Pregunta 2
¿A qué velocidad la masa de un cuerpo será doble que la que tiene en reposo?

Respuesta 2
La masa relativista cumple la ecuación:

donde mo es la masa en reposo. Luego, si m = 2 · mo, entonces:

Pregunta 3
Dos naves espaciales, de 150 m de longitud en reposo cada una de ellas, se mueven en sentidos contrarios con velocidades de 0,6 · c respecto a la Tierra. Calcule:

a) La longitud que tiene cada nave, medida desde la Tierra.

b) La longitud que tiene cada nave, medida desde la otra.

Respuesta 3
a) Aplicando las transformaciones de Lorentz:

donde l ´ es la longitud de la nave en movimiento y l su longitud en reposo.

Luego, sustituyendo datos:

b) La velocidad de una nave, medida desde la otra, vendría dada por la transformación de Lorentz de la velocidad:

Y el observador situado en una de las naves aprecia que la longitud de la otra nave es:

Pregunta 4
Jaime y Lucas son dos gemelos que tienen 30 años de edad. Jaime emprende un viaje de ida y vuelta a la estrella Vega, situada a 26 años luz de la Tierra, a una velocidad de 0,98 · c. ¿Qué edades tendrán los dos hermanos cuando Jaime regrese a la Tierra?

Respuesta 4
Desde el punto de vista de Lucas, que se ha quedado en Tierra, el tiempo transcurrido ha sido de:

mientras que para Jaime será:

Así, a su regreso, Jaime se conservará más joven (40,56 años), mientras que Lucas tendrá 83,06 años.

Pregunta 5
La energía en reposo de un electrón es 0,511 MeV. Halla la energía cinética de un electrón en movimiento con una velocidad de 0,5 · c, así como su momento lineal.

Respuesta 5
La energía cinética de un cuerpo que se mueve con una velocidad relativa viene dada por la expresión 12.19:


Ec = gmoc2 – moc2 = gEo – Eo

donde:

Luego, sustituyendo los datos:

Ec = 1,15 · 0,511 MeV – 0,511 MeV = 0,077 MeV

Para calcular el momento lineal aplicamos la expresión:

Pregunta 6
Un astronauta de 27 años de edad realiza un viaje a través de nuestra galaxia, a la velocidad de 1,8 · 108 m/s. Cuando regresa, el calendario terrestre indica que han transcurrido 50 años, ¿qué edad parece tener el viajero?

Respuesta 6
Para el astronauta, el tiempo transcurrido será:

luego, la edad que parece tener el astronauta es:

27 años + 40 años = 67 años

Pregunta 7
Calcular el tiempo que tiene que volar un avión con velocidad de 800 m/s para que el reloj del piloto marque un segundo menos que el reloj del aeropuerto, considerando que se han sincronizado en el momento de salir el avión.

Respuesta 7
Desde que el avión sale hasta que regresa transcurre un tiempo que, observado por un observador en reposo (el aeropuerto) es Dt y para el observador en el avión es Dt´, verificándose la relación:

Además:

Dt´- Dt = 1 s

Por otro lado, teniendo en cuenta que cuando v2 es mucho menor c2 se puede hacer la aproximación:

y podemos escribir:

de donde:

es decir:

Pregunta 8
En un viaje espacial un astronauta permanece en órbita terrestre durante 10 días con una velocidad de 8 km/s. Al regresar, según la teoría de la relatividad, era más joven que si hubiera permanecido en la Tierra ¿Cuánto más joven? ¿Y si hubiera estado un mes?

Respuesta 8
Para un observador en reposo ha transcurrido un tiempo Dt y para un observador en la nave Dt´, verificándose la relación:

Además, cuando v2 es mucho menor c2 se puede hacer la aproximación:

y podemos escribir:

luego, sería 30,76 ms más joven.

Si hubiera estado un mes:

en este caso, sería 0,92 ms más joven.

Pregunta 9
Una varilla de 1m de longitud se encuentra sobre el eje X y se mueve paralelamente a este eje con velocidad v respecto a un observador en reposo. Calcular la velocidad v si la medida de la varilla que realiza este observador es 0,85 m.

Respuesta 9
Aplicando la transformación de Lorentz:

siendo l ´ la longitud de la varilla en movimiento y l su longitud en reposo.

de donde:

es decir:

v = 0,527 c

Pregunta 10
La masa en reposo de una partícula es 2 MeV/c2 y su energía cinética 3 MeV. Calcular:

a) Su energía.

b) Su cantidad de movimiento.

c) Su velocidad.

Respuesta 10
a) La energía de la partícula móvil es la suma de la energía cinética y la energía en reposo, es decir:

b) La cantidad de movimiento se calcula mediante la relación:

E2 = p2c2 + (moc2)2

de donde:

c) Partiendo de la expresión:

pc2 = Eu

llegamos a:

y, por tanto:

u = 0,916 c