1.- Averigua la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto
P(2, -2) y cuya pendiente es m = -3.
Solución:
Escribimos la ecuación punto-pendiente y operamos:
2.- Escribe la ecuación implícita de la recta que pasa por P(-1, 2) y es paralela a
3x - y + 4 = 0.
Solución:
Obtenemos la pendiente de la recta dada:
La recta paralela tiene la misma pendiente; su ecuación será:
3.-Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por P(-2, 5) y es
Solución:
Las ecuaciones paramétricas son:
Multiplicamos por 3 la primera ecuación y sumamos:
La ecuación implícita es 3x + y + 1 = 0.
4.- Halla la ecuación implícita de la recta cuyas ecuaciones paramétricas son:
Solución:
Multiplicamos por 3 la primera ecuación y por 2 la segunda, y sumamos:
La ecuación implícita es 3x + 2y + 7 = 0.
5.- Halla el valor de k para que las rectas
2x - 3y + 4 = 0 -3x + ky -1 = 0
sean perpendiculares.
Solución:
Despejamos y para obtener la pendiente de cada recta:
Para que sean perpendiculares, tiene que cumplirse:
6.- Escribe la ecuación implícita de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el
punto P(-1, 4).
Solución:
Escribimos la ecuación punto-pendiente y operamos:
7.- ¿Cuál ha de ser el valor de k para que estas dos rectas sean paralelas?
x + 3y - 2 = 0 kx + 2y + 3 = 0
Solución:
Despejamos y en cada ecuación para obtener la pendiente de cada recta:
Para que sean paralelas, las pendientes han de ser iguales:
8.- Halla la ecuación implícita de la recta perpendicular a 2x + y - 3 = 0
que pasa por el punto P(1, 1).
Solución:
Obtenemos la pendiente de la recta dada:
La pendiente de la perpendicular es:
La ecuación de la recta buscada será:
9.- Escribe la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos
P(3, -1) y Q(2, -4).
Solución:
La pendiente de la recta es:
La ecuación será:
10.- Dadas las rectas:
halla el valor de k para que r y s sean perpendiculares.
Solución:
Obtenemos la pendiente de cada una de la rectas:
Para que r y s sean perpendiculares, ha de cumplirse que:
11.- Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(2, -1) y es
perpendicular a la recta de ecuación 3x - 2y + 1 = 0.
Solución:
12.- Averigua la posición relativa de las rectas (si se cortan, averigua en qué punto):
Solución:
Cambiamos el parámetro en la recta s:
Igualamos:
No tiene solución ® Las rectas son paralelas.
13.- Averigua el ángulo formado por las rectas:
Solución:
Hallamos el ángulo que forman los vectores dirección de las dos rectas:
Vector dirección de r ® (4, 3)
Vector dirección de s ® (-1, 2)
14.- Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos
P(-1, 3) y Q(-2, 8).
Solución:
15.- Dadas las rectas:
averigua su posición relativa. Si se cortan, di cuál es el punto de corte:
Solución:
Cambiamos el parámetro en la recta s:
Igualamos:
Infinitas soluciones ® Se trata de la misma recta; r y s coinciden.
16.- Determina el ángulo que forman las rectas:
Solución:
Vector dirección de r ® (3, -1)
Vector dirección de s ® (1, 2)
Llamamos a al ángulo que forman r y s:
17.- Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto
P(3, -1) y es paralela a la recta:
Solución:
18.- Dadas las rectas:
averigua su posición relativa (si se cortan, di en qué punto).
Solución:
Cambiamos el parámetro en la recta s:
Igualamos:
Infinitas soluciones ® Se trata de la misma recta; r y s coinciden.
19.- Dadas las rectas r y s, determina el ángulo que forman:
Solución:
Vector dirección de r ® (2, 4)
Vector dirección de s ® (2, -1)
Llamamos a al ángulo que forman r y s:
Es decir, las rectas son perpendiculares.
20.- Halla las ecuaciones paramétricas de la recta paralela a 2x - y + 3 = 0 y que
pasa por el punto P(4, 3).
Solución:
21.- Determina la posición relativa de estas rectas. Si se cortan, di en qué punto:
Solución:
Cambiamos el parámetro en la recta s:
Igualamos:
Sustituyendo t = 1 en las ecuaciones de r (o bien k = 2 en las de s), obtenemos el punto de corte de las dos rectas:
22.- Halla el ángulo que forman las rectas:
Solución:
El ángulo que forman r y s lo podemos hallar a partir de sus vectores dirección:
Vector dirección de r ® (-3, 2)
Vector dirección de s ® (-4, -6)
Es decir, r y s son perpendiculares.
23.- Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos
A(2, -3) y B(-1, 4).
Solución:
24.- Determina la posición relativa de las siguientes rectas. Si se cortan, averigua en qué punto:
Solución:
Cambiamos el parámetro en la recta s:
Igualamos:
Sustituimos t = -2 en las ecuaciones de r (o bien, k = -1 en las de s) para obtener el punto de corte de r y s:
25.- Averigua si estas dos rectas son perpendiculares. Si no lo fueran, halla el ángulo que forman:
Solución:
Vector dirección de r ® (-2, 3)
Vector dirección de s ® (4, -6)
Llamamos a al ángulo formado:
26.- Halla el valor de k para que la distancia del punto P(2, k) a la recta
Solución:
Hay dos posibilidades:
27.- Halla el área del triángulo de vértices:
A(3, 1) B(6, -2) C(0, -4)
1.º) Tomamos el lado BC como base del triángulo:
2.º) La altura es la distancia de A a la recta que pasa por B y C. Hallamos la ecuación de dicha recta:
Por tanto:
3.º) El área del triángulo es:
28.- Halla la distancia de P a Q y de P a r, siendo:
P(-1, -1), Q(2, -3) y r: 3x - y + 6 = 0
Solución:
29.- Calcula los vértices y el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas:
Solución:
1.º) Los vértices del triángulo son los puntos de corte de las rectas:
Punto B(3, 1)
2.º) Tomamos el lado AC como base del triángulo:
3.º) La altura es la distancia de B a la recta que pasa por A y por C (que es el eje Y). Por tanto:
altura = 3
4.º) El área del triángulo es:
30.- Calcula la distancia del punto P(-3, 5) a la recta r : y = 2x - 3.
Solución:
Expresamos la recta en forma implícita:
Por tanto:
31.- Halla las coordenadas del punto simétrico de P(3, -4) respecto a la recta
r : -3x + y + 2 = 0.
Solución:
1.º) Hallamos la ecuación de la recta, s, que es perpendicular a r y que pasa por P:
2.º) Hallamos el punto de corte, M, entre r y s:
3.º) Si llamamos P ¢(x, y) al simétrico de P con respecto a r, M es el punto medio entre P y
P ¢. Por tanto:
32.- Dados los puntos P(3, 2) y Q(-2, 4), y la recta r: 2x + y - 3 = 0; calcula la distancia:
a) Entre P y Q.
b) De P a r.
Solución:
33.- Halla el área del paralelogramo de vértices A(1, 1), B(5, 2), C(4, 4) y D(0, 3).
Solución:
1.º) Tomamos como base el lado AB:
2.º) La altura es la distancia del vértice C (o del D) a la recta que pasa por A y B. Obtengamos la ecuación de dicha recta.
Así, el área es:
34.- Halla la distancia del punto P(2, -1) a la recta:
Solución:
Expresamos r en forma implícita:
Hallamos la distancia de P a r :
35.- Dado el triángulo de vértices A(-1, -1), B(1, 4) y C(5, 2), halla las ecuaciones de sus tres medianas y calcula el baricentro (punto de intersección de las medianas).
Solución:
1.º) Hallamos los puntos medios de cada lado:
2.º) Hallamos las ecuaciones de las tres medianas:
· La que pasa por A y M2:
· La que pasa por B y M3:
· La que pasa por C y M1:
3.º) Hallamos el baricentro como punto de corte de las medianas:
36.- Obtén la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2, 3) y B(4, 1).
Solución:
Los puntos P(x,y) de la mediatriz cumplen que:
dist (P, A) = dist (P, B), es decir:
Elevamos al cuadrado en los dos miembros y operamos:
Es una recta perpendicular al segmento AB, que pasa por su punto medio.
37.- Halla la ecuación de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas
r1: x + 3y -1 = 0 y r2: 3x - y + 4 = 0.
Solución:
Los puntos P(x, y) de las bisectrices cumplen que:
dist (P, r1) = dist (P, r2), es decir:
Son dos rectas perpendiculares entre sí, que se cortan en el mismo punto que r1 y r2.
38.- Obtén el lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que:
¿Qué figura obtienes?
Solución:
Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:
39.- Identifica y halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales
que su distancia a la recta r1: x + y + 1 = 0 sea igual que su distancia a la recta
r2: 2x + 2y + 4 = 0.
Solución:
Las dos rectas dadas,
r1: x + y + 1 = 0 y r2: x + y + 2 = 0,
son rectas paralelas. Por tanto, el lugar geométrico pedido será otra recta, paralela a las dos, a igual distancia de ellas:
Hallamos su ecuación:
Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:
dist (P, r1) = dist (P, r2), es decir:
Observamos que la recta obtenida es paralela a r1 y r2.
40.- Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia al punto A(1, 0), es el triple de su distancia a la recta x = 2. Identifica la figura que obtienes.
Solución:
Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:
41.- Halla el lugar goemétrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a Q(2, 4) sea igual a 3. ¿De qué figura se trata?
Solución:
Es una circunferencia de centro (2, 4) y radio 3. Hallamos su ecuación:
Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:
dist (P, Q) = 3, es decir:
42.- Halla el lugar geométrico de los puntos del plano, P(x, y), tales que el triángulo ABP sea rectángulo en P, siendo A(2, 1) y B(-6, 1). Interpreta la figura que obtienes.
Solución:
Para que el triángulo sea rectángulo en P, se ha de cumplir que:
Obtenemos una circunferencia de centro (-2, 1) (que es el punto medio del segmento AB) y de radio 4.
43.- Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cuya distancia a A(2, 0) sea el doble de la distancia a B(-1, 0). Identifica la figura resultante.
Solución:
Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:
44.- Calcula los vértices y el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas:
Solución:
1.º) Los vértices del triángulo son los puntos de corte de las rectas:
Punto B(3, 1)
2.º) Tomamos el lado AC como base del triángulo:
3.º) La altura es la distancia de B a la recta que pasa por A y por C (que es el eje Y). Por tanto:
altura = 3
4.º) El área del triángulo es:
