NÚMEROS COMPLEJOS

El número complejo

Representación gráfica de números complejo

Operaciones con números complejos en forma binómica

El número complejo en forma polar

Operaciones con complejos en forma polar

Raíz n-ésima de un número complejo

Discusión en C de la ecuación de segundo grado

1.    El número complejo

Sabemos que en R no es posible calcular raíces de índice par y radicando negativo y en particular raíces cuadradas de radicando negativo.

La afirmación anterior supone que en R no es posible resolver todas las ecuaciones algebraicas con coeficientes en R, por ejemplo, la ecuación x2+1=0, carece de solución real. Se dice que el conjunto R es un cuerpo no algebraicamente cerrado.

Para solventar este inconveniente, que nos pone de manifiesto que si queremos resolver todo tipo de ecuaciones con coeficientes reales es necesario ampliar el campo numérico definido por R, los matemáticos crean el siguiente artificio:

Se llama unidad imaginaria y se representa por "i" a la raíz cuadrada de -1. Con esta definición, las sucesivas potencias de exponente natural de "i" son cíclicas, esto es, se repiten periódicamente cada 4 unidades, en efecto:

Con este artificio ya podemos calcular raíces cuadradas de números negativos, por ejemplo:

A un número de la forma ai con  se le llama imaginario puro. A la suma o resta de un número real con un imaginario puro se le llama número complejo en forma binómica. Al conjunto de todos los números complejos lo denotaremos por C. Se tendrá pues que:

Al número real a se le llama parte real y al número real b, parte imaginaria, estando todo número complejo formado por una parte real y una imaginaria (como caso particular a puede ser cero y entonces estamos ante un imaginario puro).

Teniendo en cuenta que si b=0 el complejo se convierte en el número real a, se puede afirmar que los números complejos incluyen como subconjunto al conjunto de los reales, esto es

O mejor en esquema:

Cumpliéndose que

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2.    Representación gráfica de números complejos

Para representar a los números complejos dados en la forma binómica, tomaremos unos ejes de coordenadas en el plano. La parte real se representará en el eje de abcisas y la parte imaginaria en el de ordenadas. Se dice entonces que el afijo del complejo z=a+bi es el extremo del vector de origen O y extremo el punto A(a, b).

Al plano coordenado así definido se le llama plano de Gauss.

Representemos los afijos de los complejos: 2+4i; 3i, -3+i, -4

Los extremos de los vectores dibujados son los afijos de los números complejos indicados para su representación gráfica como ejemplo.

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3.    Operaciones con números complejos en forma binómica

      Suma y resta:

La suma o resta de dos complejos dados en forma binómica, tiene como parte real la suma o resta de las partes reales y como parte imaginaria, la suma o resta de las partes imaginarias, esto es:

Ejemplo:

El conjunto (C, +) es un grupo abeliano, pues cumple las propiedades:

¨      ¨        Asociativa:

¨      ¨        Conmutativa:

¨      ¨        Elemento neutro: Cualquier complejo sumado con el 0+0i=0 queda invariable.

¨      ¨        Elemento opuesto: Cualquier complejo z1 tiene un opuesto -z1  obtenido cambiando los signos a las partes real e imaginaria que cumple:

El afijo del complejo suma de otros dos es el extremo del vector que tiene su origen en el de coordenadas y el extremo en el vértice opuesto de un paralelogramo cuyos lados son los vectores representativos de los complejos dados (regla del paralelogramo).

Ejemplo: gráficamente la suma (2-3i)+(-3-i)=-1-4i es:

Representado el extremo del vector coloreado en rojo el afijo del complejo suma de los dos dados.

El afijo del complejo opuesto a uno dado es simétrico con relación al origen de coordenadas del afijo de éste. Gráficamente vemos el afijo del complejo 4+2i y el de su opuesto -4-2i:

Dos complejos se llaman conjugados si tienen iguales las partes reales y opuestas la imaginarias, esto es, el conjugado de a+bi es a-bi. Sus afijos son simétricos respecto al eje de abcisas.

Multiplicación:

La multiplicación de dos complejos a+bi y c+di se realiza como si se tratase de polinomios teniendo en cuenta que i2 = -1 y separando en el resultado las partes real e imaginaria. En general:

Se puede comprobar que también (C,.) es un grupo abeliano siendo el elemento neutro el complejo 1=1+0i y el elemento inverso de a+bi es 1/(a+bi) que calcularemos al hablar de la división.

Se puede comprobar que el producto de un complejo a+bi por su conjugado a-bi es siempre el número real a2+b2, en efecto:

A la raíz cuadrada positiva de este número real la denominaremos  módulo del complejo en cuestión.

División:

Para dividir el complejo a+bi entre c+di, multiplicamos y dividimos por el conjugado del segundo a fin de obtener un número real en el denominador, en general tenemos:

donde hemos separado las partes real e imaginaria.

Ejemplo numérico:

Ahora podemos calcular el inverso de un complejo cualquiera dado en la forma binómica a+bi, será, procediendo como el la división anterior:

que efectivamente es el inverso de a+bi, ya que el producto de ambos es la unidad (elemento neutro del producto), en efecto:

Ejemplo:

Calcula el inverso de -2+6i

No queremos finalizar este apartado señalando que dado que (C, +) es un grupo abeliano; (C, .) también lo es y además es fácil ver que se cumple la propiedad distributiva del producto respecto a la suma, podemos afirmar que (C, +, .) es un cuerpo conmutativo aunque no es ordenado ya que no podemos definir en C una relación de orden como hicimos en R.

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4 El número complejo en forma polar. Paso de la binómica a la polar

Se define el módulo de un número complejo z=a+bi y se representa por r a la raíz cuadrada positiva del producto de ese complejo por su conjugado , o sea:

Dicho número representa la distancia entre el origen de coordenadas en el plano de Gauss y el afijo del complejo correspondiente.

Se llama argumento de un número complejo z=a+bi al ángulo que forma en el plano de Gauss el vector de origen O y extremo el afijo del complejo con el sentido positivo del eje de abcisas. Recordando la definición trigonométrica de tangente (véase capítulo de trigonometría), se tiene que:

Dado que el arco tangente es una función que toma infinitos valores para cada b/a, convenimos en tomar como argumento el menor ángulo positivo o nulo del primer giro cuya tangente sea b/a al que llamamos argumento principal.

Conocidos el módulo y el argumento principal de un complejo z=a+bi, se llama forma polar del mismo a la representación de la forma

Con esta definición hemos de ser capaces de, dado un complejo en forma binómica, pasarlo a forma polar y viceversa.

Paso de binómica a polar:

Basta aplicar las definiciones de módulo y argumento dadas anteriormente.

Ejemplo: Pasar a forma polar el complejo z=-3+4i.

 

Será:

Entonces en forma polar es:

Indicándonos que el vector que une el origen con el afijo mide  unidades de longitud y forma con el sentido positivo del eje real un ángulo positivo de 126º52'12''

Paso de polar a binómica:

Conocido el complejo en la forma , para pasarlo a a+bi, se tendrá recordando la trigonometría que:

En el ejemplo anterior:

 y en forma binómica sería -3+4i de donde partimos

Usando las fórmulas de paso de polar a binómica y, sacando factor común r, podemos poner el complejo también así:

Que recibe el nombre de forma trigonométrica.

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5.    Operaciones con complejos en forma polar

Multiplicación en forma polar:

Sean los complejos  y , dados en forma polar. Vamos a ver que la multiplicación en esta forma es muy sencilla ya que se reduce a multiplicar los módulos y sumar los argumentos, en efecto, recordando de la Trigonometría las fórmulas del seno y el coseno del ángulo suma, tenemos:

Ejemplo: Multiplica:

División en forma polar:

La división se reduce a dividir los módulos y restar los argumentos, en efecto:

Y como el inverso de  es:

Queda para la división:

Ejemplo: Dividir:

Potenciación en forma polar:

Para elevar un complejo dado en forma polar, a una potencia de exponente "n", elevamos el módulo y multiplicamos por n el argumento, en efecto:

Ejemplo:

También podemos calcular la potencia n-ésima de un complejo dado en la forma trigonométrica quedando:

a esta expresión se la conoce con el nombre de fórmula de De Moivre y tiene gran utilidad en Trigonometría para desarrollar fórmulas de senos y cosenos de ángulos múltiplos de uno dado "a" cuando r=1.

Por ejemplo, si queremos obtener una expresión del seno y coseno de 3a, procedemos así:

donde hemos usado las potencias cíclicas de i y la expresión del cubo de una suma.

Pero también según De Moivre, el primer miembro de la igualdad anterior es:

E igualando las partes real e imaginaria de las dos expresiones obtenidas queda:

que son las expresiones buscadas.

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6.    Raíz n-ésima de un número complejo

Queremos hallar  y, supongamos que el resultado es , donde R y  hay que determinarlos, se tendrá:

Y como para que dos números complejos dados en forma polar sean iguales es necesario que tengan el mismo módulo y sus argumentos difieran en 360k, se tendrá:

Y además:

donde k varia desde 0 hasta n-1. Un número complejo, pues tiene n raíces n-ésimas diferentes.

Ejemplo:

Calcular

Hay 4 raíces cuartas y todas ellas tienen por módulo:

Y los argumentos son:

¨      ¨        Para k=0:

¨      ¨        Para k=1:

¨      ¨        Para k=2:

¨      ¨        Para k=3:

Y las raíces cuartas de 81300º son:

En la figura adjunta se puede observar que uniendo por segmentos los afijos de las raíces n-ésimas de un complejo, se obtiene un polígono regular de n lados, en nuestro caso con n=4 un cuadrado.

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7.    Discusión en C de la ecuación de segundo grado

Vimos en el tema de álgebra que las raíces de la ecuación con coeficientes reales:

vienen dadas por la fórmula:

Y que según el signo del discriminante  podía ocurrir:

¨      ¨        Si  hay dos raíces reales distintas.

¨      ¨        Si  hay una raíz real doble.

¨      ¨        Si  no hay solución real.

Este último caso lo podemos cambiar ahora por:

¨      ¨        Si  hay dos raíces complejas conjugadas.

Veamos el siguiente caso:

Las soluciones serían:

Por otro lado si conocemos que a+bi es la raíz de una ecuación de segundo grado, también lo será  a-bi (su conjugada) y la ecuación será:

 siendo:

Quedando, entonces:

Ejemplo: Escribe la ecuación de segundo grado que tiene por solución -3+2i

Será:

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