Ejercicio3 - Ejercicio6 - Ejercicio9 - Ejercicio12 - Ejercicio15 - Ejercicio18 - Ejercicio 21 - Ejercicio 24 - Ejercicio27
1.- Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos A(-4, 0) y B(4, 0) es 40. Identifica la figura resultante.
Solución:
Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, ha de tenerse que:
[dist (P, A)]2 + [dist (P, B)]2 = 40
Es decir:
(x + 4)2 + y2 +(x - 4)2 + y2 = 40
x2 + 8x + 16 + y2 + x2 - 8x + 16 + y2 = 40
2x2 + 2y2 = 8
x2 + y2 = 4
Obtenemos una circunferencia de centro (0, 0) y radio 2.
2.-
a) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos P del plano tales que el producto de las distancias de P a las bisectrices de los cuadrantes es igual a 4.
b) ¿Qué figura se obtiene? ¿Cuáles son sus elementos característicos?
Solución:
Si P(x, y) es uno de los puntos del lugar geométrico, se tiene que:
siendo b1 y b2 las bisectrices del primer y tercer cuadrante, respectivamente, y cuyas ecuaciones son:
b1: x - y = 0 b2: x + y = 0
Entonces:
x2 - y2 = 8
asíntotas y = x e y = -x.
3.- Halla el lugar geométrico de los puntos del plano, P(x, y), tales que el triángulo ABP sea rectángulo en P, siendo A(2, 1) y B(-6, 1). Interpreta la figura que obtienes.
Solución:
Para que el triángulo sea rectángulo en P se ha de cumplir que:
Es decir:
(x + 2)2 + ( y - 1)2 = 16
Obtenemos una circunferencia de centro (-2, 1) (que es el punto medio del segmento AB) y de radio 4.
4.- Halla la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 4x + 3y - 25 = 0 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x - y - 7 = 0 y 2x + 3y - 1 = 0.
Solución:
Hallamos su centro:
2x + 9x - 21 - 1 = 0 ® 11x = 22 ® x = 2 ® y = -1
El centro es C(2, -1).
El radio, R, es igual a la distancia del centro a la recta tangente:
La ecuación será:
(x - 2)2 + (y + 1) 2 = 16 ® x2 + y2 - 4x + 2y - 11 = 0
5.-
a) Halla el centro y el radio de la circunferencia de ecuación:
2x2 + 2y2 - 8x - 12y + 8 = 0
b) Escribe la ecuación de la circunferencia de radio 5, que es concéntrica a la del apartado anterior.
Solución:
a) 2x2 + 2y2 - 8x - 12y + 8 = 0 ® x2 + y2 - 4x - 6y + 4 = 0
b) La circunferencia tiene radio 5 y centro (2, 3). Su ecuación será:
(x - 2) 2 + (y - 3) 2 = 25 ® x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0
6.- Obtén la ecuación de la circunferencia de radio 2 que pasa por los puntos (1, 0) y (3, 2).
Solución:
El centro de la circunferencia pertenece a la mediatriz del segmento de extremos A(1, 0) y B(3, 2):
- Ecuación de la mediatriz:
y = 1 - 1(x - 2) ® y = 1 - x + 2 ® y = 3 - x
Las coordenadas del centro de la circunferencia son C(x, 3 - x).
La distancia del centro a los puntos A y B debe ser igual a 2:
x2 - 2x + 1 + 9 - 6x + x2 = 4 ® 2x2 - 8x + 6 = 0 ® x2 - 4x + 3 = 0
Hay dos soluciones:
· Centro (3, 0) y radio 2:
(x - 3)2 + y2 = 4 ® x2 + y2 - 6x + 5 = 0
· Centro (1, 2) y radio 2:
(x - 1)2 + (y - 2)2 = 4 ® x2 + y2 - 2x - 4y + 1 = 0
7.- Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(-1, 2) y B(1, 4) y tiene su centro en la recta y = 2x.
Solución:
Si tiene su centro en la recta y = 2x, las coordenadas de este son C(x, 2x).
La distancia de A al centro ha de ser igual que la distancia de B al centro (esta distancia es el radio de la circunferencia):
dist (A, C) = dist (B, C)
x2 + 2x + 1 + 4x2 - 8x + 4 = x2 - 2x + 1 + 4x2 - 16x + 16
12x = 12 ® x = 1 ® y = 2
El centro de la circunferencia es C(1, 2).
La ecuación será:
(x - 1) 2 + (y - 2) 2 = 4 « x2 + y2 - 2x - 4y + 1 = 0
8.- Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (2, -3) y que es tangente a la recta 3x - 4y + 5 = 0.
Solución:
El radio, R, de la circunferencia es igual a la distancia del centro a la recta dada:
La ecuación será:
25x2 + 25 y2 - 100x +150y - 204 = 0
9.- Halla la posción relativa de la recta 3x + 4y - 25 = 0 con respecto a la circunferencia x2 + y2 - 25 = 0. Si se cortan en algún punto, halla sus coordenadas.
Solución:
Como tenemos que hallar los posibles puntos de corte, resolvemos el sistema:
Se cortan en el punto (3, 4). Por tanto, son tangentes.
10.-
x2 + y2 - 12x - 6y + 20 = 0.
Solución:
· Hallamos el centro y el radio de la circunferencia:
· Hallamos la distancia del centro a la recta dada:
· Como la distancia del centro a la recta es igual al radio, la recta es tangente a la circunferencia.
11.- Obtén el valor de k para que la recta s: x + y + k = 0 sea tangente a la circunferencia x2 + y2 + 6x + 2y + 6 = 0.
Solución:
· Hallamos el centro y el radio de la circunferencia:
x2 + y2 + 6x + 2y + 6 = 0
· Hallamos la distancia del centro a la recta dada:
· Para que la recta sea tangente a la circunferencia, esta distancia ha de ser igual al radio:
12.- Halla la posición relativa de las siguientes circunferencias. Si se cortan en algún punto, obtén sus coordenadas:
C1: x2 + y2 - 4x - 4 = 0 C2: x2 + y2 + 6x - 4 =0
Solución:
Se cortan en los puntos (0, -2) y (0, 2). Por tanto, son secantes.
13.- Identifica las siguientes cónicas, dibújalas y halla sus focos y su excentricidad:
Solución:
a) Es una hipérbola de centro P(2, 0).
14.- Describe las siguientes cónicas, obtén sus elementos y represéntalas:
a) 4x2 + 25 y2 = 100 b) 4y2 - x2 = 4
Solución:
15.- Dadas las siguientes cónicas, identifícalas, obtén sus elementos característicos y represéntalas gráficamente:
Solución:
a) Es una elipse de centro P(1, 2).
Semieje mayor: 4; semieje menor: 3
16.- Halla los puntos de corte de las siguientes circunferencias y estudia su posición relativa:
C1: 2x2 + 2y2 - 18 = 0 C2: x2 + y2 - 6x - 8y =0
Solución:
Hallamos los puntos de corte resolvendo el sistema:
Se cortan en los puntos (2,83; -1) y (-1,75; 2,44).
Por tanto, son secantes.
17.- Identifica estas cónicas, halla sus elementos y dibújalas:
Solución:
a) Es una elipse de centro P(0, 1).
Semieje mayor: 6; semieje menor: 5
b) y2 - 4x = 0 ® y2 = 4x
18.- Halla los elementos característicos de las siguientes cónicas, descríbelas y represéntalas gráficamente:
Solución:
a) Es una hipérbola.
Semieje: 2
19.- Pon la ecuación de la siguiente hipérbola, su semieje, sus focos, su excentricidad y sus asíntotas:
Solución:
Semieje: 2
20.- Escribe la ecuación de la siguiente elipse y halla sus semiejes, sus focos y su excentricidad:
Solución:
Semieje mayor: 3; semieje menor: 2
21.- Escribe la ecuación de la siguiente hipérbola y halla sus semieje, sus focos, su excentricidad y sus asíntotas:
Solución:
Semieje: 3
22.- Halla los semiejes, los focos y la excentricidad de la siguiente elipse. Escribe su ecuación:
Solución:
Semieje mayor: 4; semieje menor: 2
23.- Halla el foco, la directriz y la ecuación de la siguiente parábola:
Solución:
Directriz: x = 1. Foco (-1, 0).
Ecuación: y2 = - 4x
24.- Halla el lugar goemétrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a Q(2, 4) sea igual a 3. ¿De qué figura se trata?
Solución:
Es una circunferencia de centro (2, 4) y radio 3. Hallamos su ecuación:
Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:
dist (P, Q) = 3, es decir:
25.- Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cuya distancia a A(2, 0) sea el doble de la distancia a B(-1, 0). Identifica la figura resultante.
Solución:
Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:
26.- Identifica y halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a la recta r1: x + y + 1 = 0 sea igual que su distancia a la recta r2: 2x + 2y + 4 = 0.
Solución:
Las dos rectas dadas,
r1: x + y + 1 = 0 y r2: x + y + 2 = 0,
son rectas paralelas. Por tanto, el lugar geométrico pedido será otra recta, paralela a las dos, a igual distancia de ellas:
Hallamos su ecuación:
Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:
dist (P, r1) = dist (P, r2), es decir:
Observamos que la recta obtenida es paralela a r1 y r2.
27.- Obtén el lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que:
¿Qué figura obtienes?
Solución:
Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:
28.- Halla la ecuación de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas
r1: x + 3y -1 = 0 y r2: 3x - y + 4 = 0.
Solución:
Los puntos P(x, y) de las bisectrices cumplen que:
dist (P, r1) = dist (P, r2), es decir:
Son dos rectas perpendiculares entre sí, que se cortan en el mismo punto que r1 y r2.
29.- Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia al punto A(1, 0), es el triple de su distancia a la recta x = 2. Identifica la figura que obtienes.
Solución:
Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:
30.- ¿Cuál es el lugar geométrico cuya suma de distancias a los puntos A(0, 1) y B(0, -1) es 8?. Halla su ecuación.
Solución:
Es una elipse de focos A y B y constante k = 8. Hallamos su ecuación:
Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:
dist (P, A) + dist (P, B) = 4, es decir:
Elevamos al cuadrado y operamos para simplificar:
31.- Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos A(-4, 0) y B(4, 0) es 40. Identifica la figura resultante.
Solución:
Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, ha de tenerse que:
Obtenemos una circunferencia de centro (0, 0) y radio 2.