1.- Efectúa las siguientes operaciones:

Solución:

El último de los denominadores se escribe como producto de factores de la forma: (x –1)(x – 3), es el mínimo común denominador.

Las operaciones de las fracciones con dicho denominador son:

2.- Efectúa las siguientes operaciones:

Solución:

Los denominadores factorizados son: 2x, x(x-2)  y  (x + 2)(x – 2), respectivamente. El mínimo común denominador es:

2x(x – 2)(x + 2).

Las operaciones con las fracciones con dicho denominador son:

3.- Efectúa las siguientes operaciones:

Solución:

4.- Efectúa, simplificando el resultado, el siguiente producto:

Solución:

Factorizamos todos los polinomios utilizando los productos notables y sacando factor común para simplificar después:

, , ,

Efectuando el producto y simplificando, resulta:

 

5.- Efectúa, simplificando el resultado, el siguiente cociente:

Solución:

6.- Efectúa, simplificando el resultado, las siguientes operaciones:

Solución:

a) Los polinomios se factorizan aplicando las reglas de los productos notables:

Efectuando el producto y simplificando, resulta:

b) El polinomio no factorizado es el cuadrado de una suma.

Efectuamos el cociente y simplificamos:

           

7.- Opera y simplifica:

Solución:

8.- Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:

Solución:

9.- Efectúa estas operaciones y simplifica:

Solución:

10.- Opera y simplifica el resultado:

Solución:

11.- Efectúa y simplifica las siguientes operaciones:

Solución:

Sumamos y restamos las fracciones del denominador y del numerador:

Efectuamos el cociente de fracciones y simplificamos:

Simplificamos de nuevo, resultando:

x –y + y = x.

12.- Efectúa y simplifica las siguientes operaciones:

Solución:

Para la suma del dividendo el denominador común es (x + 1), y para la resta del divisor es:

Las operaciones indicadas son:

13.- Efectúa y simplifica las siguientes operaciones:

Solución:

Restamos y sumamos las fracciones del numerador y del denominador del dividendo, y las del divisor:

 

Efectuamos el cociente del dividendo y simplificamos:

Efectuamos la división, simplificamos y utilizamos los productos notables para factorizar los polinomios resultantes:

14.- Halla los números a y b para que sea correcta la siguiente igualdad:

Solución:

El denominador común de la suma del primer miembro sería: (x – 4)(x + 3) = , que coincide con el denominador del segundo miembro.

 Realizando la suma:

Igualando los coeficientes de igual grado de los numeradores obtenemos el sistema:

Despejamos en la primera ecuación: b = 7 – a, y sustituimos en la segunda: 3a – 4(7 – a) =0, de donde: a = 4  y  b = 3.

15.- Halla el polinomio que falta en la siguiente operación indicada:

Solución:

Factorizamos los polinomios, y asignamos a A(x) los factores que hacen correcta la operación.

Las raíces del denominador del dividendo son: x = 1,  x =2, luego, sus factores son (x –1),

 (x – 2).

Resulta:

Transformamos la división en la multiplicación por la fracción inversa:

Como el denominador resultante del primer miembro tiene el factor (x – 1), que no tiene el denominador del segundo miembro, también debe tenerlo el numerador a mayores, con lo cual:

16.- Halla los números a y b para que sea correcta la siguiente igualdad:

Solución:

El denominador común de la suma del primer miembro es:  , que coincide con el denominador del segundo miembro.

 Realizando la suma:

Igualando los coeficientes de igual grado de los numeradores obtenemos el sistema:

En la primera ecuación: a = 1, y sustituyendo en la segunda: b = 3.

17.- Halla el polinomio que falta en la siguiente operación indicada:

Solución:

Si factorizamos los polinomios, el problema se resuelve asignando al polinomio A(x) aquellos factores que hacen correcta la operación. El denominador del primer miembro tiene como posibles raíces enteras:

Se comprueba que – 1 lo es. Dividimos por x + 1:

          1        1     - 4     - 4

   - 1           -1        0        4

          1        0     - 4        0       

El cociente es una diferencia de cuadrados:

Para el polinomio del segundo miembro, se saca factor común. Resultando:

Observamos que en los numeradores hay exactamente los mismos factores, lo mismo debe ocurrir con los denominadores, es decir:

A(x) = (x + 2)(x - 2)

18.- Efectúa las siguientes operaciones:

Solución:

El mínimo común denominador es: (x – y)(x + y).

Las operaciones de las fracciones con dicho denominador son:

  .