Radicación Algebraica.

La raíz enécima de un valor es igual a X si se verifica que X elevado a la enécima potencia es igual a dicho valor.

Elementos de la raíz

                        índice                                                              signo radical

                                                                                     cantidad sub-radical o radicando

Radical: se llama radical a toda raíz indicada de una cantidad.

Si la raíz es exacta tenemos una cantidad racional.

Ejemplos:

Si la raíz es inexacta tenemos una cantidad irracional o radical propiamente dicha.

Ejemplos:

El grado de un radical lo indica el índice de la raíz.

Regla de los signos de la radicación.

a)      Raíz de índice par, radicando positivo, es igual a dos raíces de igual valor absoluto y distinto signo.

b)      Índice impar, radicando positivo, es igual a raíz única y positiva.

c)      Índice impar, radicando negativo, raíz única y negativa.

d)      Índice par de radicando negativo, no tiene solución real.

Propiedades de los radicales.

            a) La raíz “n” de un producto es igual a las raíces “n” de cada uno de los factores y reciprocamente.

b) La raíz “n” de un cociente es igual al cociente de la raíz “n” del dividendo dividido la raíz “n” del divisor y  reciprocamente.

c) Un radical cuyo índice está dado por el producto de dos factores, puede expresarse como un radical doble que tiene como índice cada uno de los factores y recíprocamente.

d) Si en un radical se multiplica o se divide índice y exponente por el mismo valor, el radical no varía.

 

Simplificación de Radicales.

Es obtener otro radical igual al dado de menor índice. Para lograrlo se divide índice y exponente por un divisor común.

¨     Extracción de factores fuera del radical.

Pueden extraerse factores fuera del radical; cuando los factores del radicando contiene un exponente igual o mayor que el índice del radical.

¨     Introducción de factores dentro del radical.

Está operación es inversa a la extracción de radicales. Para introducir factores dentro del radical; se eleva los factores de la cantidad situada fuera del signo radical a una potencia igual al índice de la raíz, está cantidad se escribe dentro del radical y se multiplica por el radicando si lo hubiera, y finalmente se efectúan las operaciones indicadas dentro del radical.

¨     Reducción de radicales al mínimo común índice.

Está operación consiste en convertir radicales de distinto índice en radicales del mismo índice. Para eso, hallamos el m.c.m. de los índices que será el índice común; luego elevamos el radicando a la potencia resultante de dividir el índice común con el índice de cada radical.

Ejemplos:

1°) Los índices son 2 , 3 y 6. Hallamos el m.c.m. de los índices.

                                         2          3          6          2

                                          (1)      -          3          3

                                                      (1)          (1)                           El m.c.m. es  6.

2°) Dividimos el índice común 6 con el índice de cada radical.

 

                  6          2                                 6          3                                 6          6

                   (0)      3                                   (0)      2                                   (0)      1

Luego, elevamos cada cantidad sub-radical a una potencia resultante de la división entre los índices.

 

3°) Efectuamos las operaciones indicadas dentro del radical.

 

¨     Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen el mismo índice y el mismo radicando; diferenciándose solamente en los signos y en los coeficientes.

Ejemplos:

Suma y resta de radicales

Está operación se efectúa; primeramente extrayendo los factores de los radicales dados, luego verificamos si hay radicales semejantes y si los hay procedemos a sumarlo algebraicamente sus coeficientes acompañado del radical común y finalmente se escriben los radicales no semejantes con su propio signo si los hubiera.

Observación: Se recuerda que solamente se puede sumar o restar radicales, si dichos radicales son únicamente semejantes.

Multiplicación de radicales

Para multiplicar radicales del mismo índice; se multiplican previamente los signos, luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera.

Para multiplicar radicales compuestos del mismo índice; se multiplican como el producto de 1 polinomio por 1 monomio o el producto de 2 polinomios

Para multiplicar radicales compuestos de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se multiplican como si fueran radicales del mismo índice.

División de radicales.

Para dividir radicales del mismo índice; se dividen previamente los signos, luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común se dividen las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera.

Para dividir radicales de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se dividen como si fueran radicales del mismo índice.

Racionalización: es una operación que tiene por objeto hacer desaparecer siempre el radical del denominador.

1er Caso: cuando el radical del denominador es de 2do grado, es decir posee como radical una raíz cuadrada.

Ejemplos:

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el factor racionalizante del denominador, en éste caso por sí mismo.

2do Caso: cuando el radical del denominador es mayor al de 2do grado, es decir radicales de 3er, 4to, 5to y más grado.

Ejemplos:

 

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el radical del mismo índice con la misma cantidad sub-radical pero el exponente de la cantidad sub-radical debe expresar la diferencia que existe entre el índice del radical y el exponente de la cantidad sub-radical.

3er Caso: cuando el radical del denominador es un binomio.

Ejemplos

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por la conjugada del denominador.

Se llaman cantidades conjugadas a 2 binomios que tienen las mismas cantidades literales, los mismos coeficientes y los mismos exponentes, diferenciando solamente en el signo del 2do término del 2do binomio.