1.- Calcula las siguientes raíces:

Solución:

2.- Simplifica los siguientes radicales:

Solución:

3.- Expresa los siguientes números en forma de raíz:

a)   3

b)  –5

c)   10

d)  9

e)   -100

Solución:

4.- Reduce a índice común los siguientes radicales:

Solución:

5.- Simplifica los siguientes radicales:

Solución:

6.- Ordena de menor a mayor los siguientes radicales:

Solución:

7.- Escribe 3 radicales equivalentes a:

Solución:

8.- Introduce en el radical los números que están fuera:

Solución:

9.- Reduce a índice común los siguientes radicales:

Solución:

10.- Simplifica los siguientes radicales:

Solución:

11.- Estudia cuáles de los siguientes radicales son equivalentes:

.

Solución:

Lo son el primero, el cuarto y el quinto, pues:

También son equivalentes el segundo y el tercero:

12.- Escribe cada uno de los siguientes radicales de otras dos formas distintas:

Solución:

Dividimos y multiplicamos el índice del radical y los exponentes de las potencias por el mismo número para obtener distintas escrituras. Resulta en cada caso:

13.- Reduce a índice común los siguientes radicales:

Solución:

El mínimo índice común es: m.c.m.(2, 3, 4, 6) = 12.

Entonces:

14.- Extrae los factores numéricos y literales posibles de los siguientes radicales:

Solución:

15.- Extrae los factores numéricos y literales posibles de los siguientes radicales:

Solución:

16.- Introduce el factor en el radical y simplifica los siguientes radicales:

Solución:

Elevamos los distintos factores al índice de la raíz correspondiente:

17.- Prueba que los siguientes radicales pueden escribirse con el mismo índice y radicando:

Solución:

En el último radical debemos poner el mismo índice, y sacar factores fuera del radical en todos ellos.

                                               

                       

Los cuatro tienen el mismo índice e idéntico radicando, luego, son semejantes.

18.- Estudia cuáles de los siguientes radicales pueden escribirse con el mismo radicando:

Solución:

Extraemos factores fuera del radical, y observamos los radicandos.

                                                   

                                                  

         

Son semejantes todos excepto el cuarto.

19.- Sabiendo que los siguientes radicales son equivalentes, calcula los índices y exponentes que faltan:

Solución:

El índice del segundo radical se obtiene multiplicando por dos el del primero, luego, la misma relación debe haber entre los exponentes. De aquí obtenemos que el exponente de la y en el primer radical es 2, y el de la x en el segundo es 8.

En los siguientes radicales las relaciones entre ellos no se establecen con números enteros, por lo cual, reducimos el índice y los exponentes del primer radical, que ya lo conocemos:

Ahora los cálculos ya son inmediatos, en el tercer radical el índice es 9, y en el último los exponentes son 10  y  5, respectivamente.

20.- Halla los números a, b, c, d, e y f positivos para que los siguientes radicales sean equivalentes:

Solución:

Como tienen el mismo índice, introducimos los factores en el radical e igualamos los coeficientes y los exponentes.

Resulta: = =

En los coeficientes:  = 450 ® = 25 ® a = 5. Tomamos la solución positiva como dice el enunciado.

                               450 = 50 ® d = 3

En los exponentes:   7 = 2c+1 = 2e+1 ® c = 3,  e = 3.

                               2b = 2 = 2f+2  ® b = 1,  f = 0.

21.- Escribe tres radicales con diferentes partes numéricas y literales de índice 6, de tal manera que al extraer factores y simplificar resulte un radical de índice 2 y radicando 3x.

Solución:

Comenzamos con el radical . En él introducimos tres factores con las condiciones del problema. Por ejemplo:

,        ,     

Por último, los transformamos en radicales con índice 6:

,   

22.- Estudia si las siguientes igualdades son correctas o falsas, explicando la situación:

a)

b)

c)

d)

Solución:

a)     Es incorrecto, pues

b)     Es incorrecta. La escritura con un radical sería: .

c)      No es correcta como se observa operando:

 =

d)     Introducimos el factor del denominador:

      

       luego es correcta.

23.- Estudia si las siguientes afirmaciones son correctas o falsas. Escribe una explicación:

a)     La fracción puede extraerse del radical .

b)     Dos radicales cuyos índices tienen distinta paridad, no pueden escribirse con el mismo índice.

c)     El radical puede escribirse con el mismo índice y radicando que .

Solución:

a)No es correcta ya que los factores 5 y x están elevados al cuadrado no al cubo.

b)Falso. Siempre se pueden escribir con radicales que tengan el mismo índice, por ejemplo, que el índice sea el mínimo común múltiplo de los índices dados. La precaución que hay que tener al cambiar el índice es tomar las raíces con el mismo signo que la dada.

c)Es correcto: y

24.- Calcula los cuadrados o efectúa las operaciones indicadas en las siguientes expresiones:

Solución:

a)    

b)     = 2x - 4 + 8 = 2x - 8 + 8.

c)      = = 4 – 4(x – 1) = 8 – 4x.

25.- Suma los radicales siguientes reduciéndolos previamente a radicales semejantes:

.

Solución:

En el primer radical debemos escribir el mismo índice:

= =

= =

26.- Multiplica cada una de las siguientes expresiones por su expresión conjugada:

Solución:

27.- Efectúa las operaciones indicadas:

Solución:

a)     = = x + y – (x – y) = 2y

b)     Calculamos en primer lugar la potencia del radical cúbico, después, ponemos 12 como mínimo índice común:

= = = =

28.- Suma las siguientes expresiones reduciéndolas previamente a radicales semejantes:

Solución:

Buscamos el cuadrado de un factor en los números: , y extraemos factores:

= =

=

En la expresión previa a agrupar los radicales, observamos que son semejantes.

29.- Efectúa las operaciones indicadas:

Solución:

a) = = = x.

           

b) = =

=

30.- Efectúa escribiendo bajo un radical solamente las siguientes operaciones:

Solución:

a) Escribimos los radicales con el índice común 6:

=

b) El mínimo índice común, ahora, es: m.c.m.(2, 5) = 10:

31.- Racionaliza las siguientes fracciones:

Solución:

a) =

b) Completamos la potencia del denominador, para que su exponente iguale al índice de la raíz:

= =

32.- Escribe bajo un radical solamente las siguientes expresiones, y extrae todos los posibles factores fuera del radical:

Solución:

a)     =

b)     =

c)   =

Solución:

Multiplicamos el numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador en ambos casos.

a)     =

b)     =

34.-

a)     Sabiendo que , escribe todos los posibles valores para los índices de los radicales del primer miembro.

b)     Sabiendo que , ¿cuántas veces extraemos la raíz cuadrada?

Solución:

a)     El índice 24 se obtiene como producto de los dos desconocidos, luego, tenemos que buscar parejas de divisores de 24 cuyo producto sea 24, es decir: (2, 12), (3, 8), (4, 6). En este orden los valores de los índices o en el contrario verifican la igualdad.

b)     El índice de la raíz resultante debe ser 32, para que se simplifique el radical con la potencia, y, por otro lado, es el producto de tantas veces 2 como radicales tengamos en la expresión. Como 25 =32, el número de veces que extraemos la raíz cuadrada es 5.

35.- Prueba que la suma de las raíces cuadradas de dos números enteros positivos, que se diferencian en k unidades, es igual a k veces el inverso de la diferencia de dichas raíces. ¿Se verifica el resultado intercambiando en el enunciado “suma de las raíces” con “ diferencia de las raíces”?

Solución:

Llamemos n + k  y  n a los números. El enunciado dice que:

Multiplicando las dos expresiones con radicales, que son conjugadas, obtenemos el resultado pedido:

La expresión es la misma intercambiando los papeles de las expresiones con radicales.

36.- Calcula a y b para que sea cierta la siguiente igualdad:

Solución:

Se trata de una suma de radicales, que deben ser semejantes. Sacamos los factores fuera de los radicales:

Entonces, a = 1  y  b – 2 = -1, es decir b = 1.

37.- Dada la expresión , escribe con un solo radical el valor en los casos concretos que constan de 2, 3 y 4 raíces, y observando los resultados obtén una fórmula para cualquier número n de raíces.

Solución:

Si tenemos dos raíces,  n =2:

Para n = 3:

Para n =4:

En los dos últimos casos se utilizan los cálculos del anterior.

Para un número n de radicales, observamos que la expresión sería: . El exponente es una unidad inferior al índice.

38.- Simplifica al máximo las siguientes expresiones:

Solución:

39.- Efectúa y simplifica:

Solución:

40.- Calcula y simplifica al máximo las siguientes expresiones:

Solución:

41.- Halla y simplifica al máximo:

Solución: