LÍMITES DE FUNCIONES

Se dice que una función y=f(x) tiene límite "l" cuando la x tiende a "a" y lo representamos por:

cuando para toda sucesión de números reales que se aproxime a "a" tanto como queramos, los valores correspondientes de f(x) se aproximan a "l" tanto como queramos. ("tanto como queramos" es una expresión que nos indica que la aproximación será tanto mayor cuantos más elementos tomemos de la sucesión).

Ejemplo 1:

Consideremos la función  y tratemos de calcular su límite cuando x tiende a 2. Tomamos la sucesión a_n = {1-1,9-1,99-1,999-1,9999-....} y veamos a qué valor se aproxima f(a_n), para ello construimos la siguiente tabla:

Parece que los valores de la función se aproximan, tanto como  queramos a menos infinito, pero nos  preguntamos ¿Qué ocurriría si la sucesión elegida fuese decreciente, en lugar de creciente, veámoslo:

 Ahora los valores se aproximan a más infinito.

 Es decir, si la sucesión tiende a 2 pero conservándose todos sus términos menores que 2, la función tiende a un límite y si los valores de la sucesión se conservan todos mayores que dos la función tiende a otro distinto. Afirmamos que no existe límite en el punto 2 para la función dada.

Ejemplo 2

Calcular el límite

Vamos a proceder como antes con una sucesión creciente y otra decreciente que se aproximen ambas a 3 tanto como queramos:

 Y para una decreciente:

Como los valores que toma la función para ambas sucesiones tienden al mismo valor 4, podemos escribir:

De los dos ejemplos anteriores obtenemos las siguientes conclusiones:

¨      ¨        Se llama límite lateral por la izquierda de f(x) cuando x tiende a "a" al valor al que se aproximan los valores de f(a_n) cuando los valores de a_n se aproximan a "a" tanto como queramos pero manteniéndose menores que "a" (sucesión creciente). Escribimos entonces:

¨      ¨        Se llama límite lateral por la derecha de f(x) cuando x tiende a "a" al valor al que se aproximan los valores de f(a_n) cuando los valores de a_n se aproximan a "a" tanto como queramos pero manteniéndose mayores que "a" (sucesión decreciente). Escribimos:

Teorema: El límite de una función si existe es único y únicamente si l_i = l_d, es decir, si ambos límites laterales coinciden.

   Concepto de límite. Casos de indeterminación.

En el punto segundo de este capítulo hemos definido el límite de f(x) cuando x tiende a "a" por medio de sucesiones. Esta definición aunque muy comprensible desde el punto de vista intuitivo, nos obligaría a comprobar todas las sucesiones que se aproximan a "a" (o al menos muchas de ellas) y ver hacia quién tiende f(a_n). El cálculo pude ser engorroso y la definición poco rigurosa si sólo comprobamos una ó dos como de hecho hemos hecho allí.

Una definición más rigurosa sería:

"Se dice que f(x) tiene por límite l cuando x tiende a "a" y se escribe , si para todo número real , positivo y suficientemente pequeño, es posible determinar otro número real , que depende de , tal que si se cumple , entonces se ha de cumplir que ".

La definición anterior equivale a decir que para todo entorno de "l"  existe otro de “a”  en el cual todo punto de este entorno menos “a” por medio de la función va a  el entorno

Gráficamente:

Ejemplo:

Demostrar que

Consideremos un , hemos de encontrar un  que verifique:

entonces:

Y despejando x:

Restando 2 a los tres miembros:

Basta pues tomar:

 para que se cumpla la definición

Diremos que un límite es determinado si es un número real o bien . En cualquier otro caso se dirá que es indeterminado.

Existen 7 casos de indeterminación (no tienen sentido estos resultados):

En apartados posteriores diremos cómo solucionar cada una de ellas

Cálculo de límites

1.      Límites de funciones polinómicas.

Distinguiremos dos casos:

   Cuando :

Basta calcular f(a).

Ejemplo:

Calcula

Será:

     Cuando :

En este caso el polinomio es equivalente al término de mayor grado, ya que el resto de los términos son insignificantes respecto de aquél y se pueden despreciar.

El límite será  ó  dependiendo el signo del que tenga el término de mayor grado y de si el exponente es par o impar:

Ejemplos:

2.      Límites de funciones racionales.

Pueden darse dos casos:

a)        Sea :

¨        ¨        Si , se tiene que

¨        ¨        Si , entonces

¨      ¨        Si , tenemos el caso de indeterminación 0/0. Pero entonces como el numerador y el denominador son divisibles por (x-a), factorizando por la regla de Ruffini o utilizando las igualdades notables, podemos simplificar la fracción algebraica y puede desaparecer la indeterminación:

Ejemplos:

En este último caso determinaremos el signo del infinito calculando los límites laterales:

 ya que si x tiende a 3 pero se conserva menor que 3, el numerador es positivo y el denominador negativo (basta dar a la "x" del denominador el valor 2,99 y se obtiene como valor numérico -0,0099).

 pues para x tendiendo a 3 pero conservándose mayor que 3, el numerador es positivo y el denominador también (basta dar a "x" el valor 3,01 para obtener 0,0101).

b)        Sea ahora :

Obtenemos una indeterminación del tipo  que se subsana dividiendo numerador y denominador por el x de mayor grado:

Ejemplo:

De la forma como hemos resuelto el ejemplo se deduce que si los términos de mayor grado de P(x) y Q(x) son respectivamente axⁿ y bx^m, pueden ocurrir tres casos:

¨      ¨        Si n>m el límite es

¨      ¨        Si n=m el límite es

¨      ¨        Si n<m el límite es 0

Si la función es suma o resta de dos fracciones algebraicas, puede aparecernos una indeterminación del tipo  que desaparece haciendo previamente la suma o resta.

Ejemplo:

No podemos terminar este apartado viendo la forma de calcular los límites de funciones potenciales-exponenciales donde tanto la base como el exponente son funciones racionales, es decir, límites del tipo:

en caso en que la función racional de la base tienda a 1 y la del exponente a infinito. Hablamos de solucionar la indeterminación .

Hay dos formas de hacerlo:

a)       Tratando de poner la fracción racional de la fase en la forma  para lo cual habrá que dividir los polinomios P(x) y Q(x) y recordar que  cualquier división de este tipo nos permite poner la fracción en la forma:

, siendo C(x) el cociente y r(x) el resto.

Realizando las transformaciones necesarias tanto en la base como en el exponente podemos llegar a una solución en la que intervenga el número "e".

Veamos el siguiente ejemplo:

donde la base tiende a 1 y el exponente a infinito.

 Dividamos los polinomios de la función racional de la base de la potencia:

X² + 0 - 3               x² + 0 + 4

-x² + 0 - 4               1

            -7

Pudiendo escribir el límite:

b)          Otra forma de eliminar esta indeterminación es recurriendo a la llamada regla de oro que nos dice que si a(x) tiende a 1 y b(x) tiende a infinito, se cumple:

La justificación de esta regla sería:

Llamando "l" al límite buscado y tomando logaritmos neperianos en la expresión del límite anterior quedaría (recordando la posibilidad de intercambio del logaritmo con el límite):

Y de ahí se deduce que:

 como queríamos probar.

Veamos una aplicación práctica:

Será:

3.      Límite de funciones irracionales.

Sea f(x) una función en la que aparece un radical. Pueden darse dos casos:

a)       Cuando x tiende a "a":

Si al sustituir x por a aparece una indeterminación del tipo 0/0 basta multiplicar y dividir por la expresión conjugada.

Ejemplo:

b)        Cuando x tiende a infinito:

Puede aparecernos una indeterminación del tipo  que se soluciona como antes multiplicando y dividiendo por el conjugado.

       Asíntotas. Cálculo.

Las asíntotas son líneas rectas a las cuales se aproxima, tanto como queramos, alguna rama de una función.

Pueden haber tres tipos de asíntotas:

a)            Verticales:

La recta x=a es una asíntota vertical de la función y=f(x) si se cumple que

b)             Horizontales:

La recta y=l es una asíntota horizontal de y=f(x) si se cumple que

c)             Oblicuas:

La recta y=mx+n es una asíntota oblicua de la función y=f(x) si se cumple que:

Para conocer la posición de la curva con relación a su asíntota  calculamos:

¨      ¨        Para las verticales los límites laterales:

 y comprobamos si la curva va a  ó a

¨      ¨        Para las horizontales los límites:

 y vemos si se acerca a la recta y=l por la derecha o por la izquierda.

¨      ¨        Para las oblicuas calculamos:

 y vemos si está por encima o por debajo de la curva.

Las funciones polinómicas carecen de asíntotas.

Las funciones racionales pueden tenerlas de los tres tipos y las podemos calcular así:

¨      ¨        Las verticales se obtienen de los valores que anulan el denominador.

¨      ¨        Las horizontales existirán si el grado del numerador es menor que el del denominador.

¨      ¨        Las oblicuas existirán si el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador.

Ejemplo:

Encontrar y dibujar las asíntotas de la función

Será:

Como , no hay asíntotas horizontales.

Como , la recta x= -1 es una asíntota vertical.

Como  la recta y=x-4 es asíntota oblicua.

La gráfica, junto con las asíntotas es:

Como:

pues en el primer caso el numerador es positivo y el denominador negativo y en el segundo ambos son positivos, la curva está por la izquierda de la asíntota vertical a la izquierda del -1 y a la derecha por la derecha del -1.