TRIGONOMETRÍA  

Medida de ángulos. Grados y radianes

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Signo de las razones trigonométricas

Razones trigonométricas de los ángulos 0º,90º,180º,270º,30º,60º,45º

Identidades fundamentales de la Trigonometría

Reducción al 1^er cuadrante

Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

Razones trigonométricas del ángulo doble

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Transformaciones de sumas en productos y viceversa

Simplificación de expresiones trigonométricas. Ecuaciones trigonométricas

Resolución de triángulos rectángulos

Teorema de los senos y teorema del coseno

1.    Medida de ángulos. Grados y radianes.

Se puede definir un ángulo como la región del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen su origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.

Si tomamos unos de los lados como origen (inmóvil) y, consideramos que el ángulo se forma cuando, coincidiendo en un principio los dos lados, uno de ellos se abre sobre el otro como si ambos estuvieran clavados sobre el vértice, podemos asignar un signo a los ángulos diciendo que el ángulo es positivo si el lado móvil se desplaza sobre el otro en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario.

Dado que un ángulo es una magnitud, podemos medirlo pero para ello necesitamos unas unidades de medida adecuadas que vamos a definir en dos sistemas de medida diferentes:

    Sistema sexagesimal:

Dadas dos rectas perpendiculares, se llama ángulo recto a cada uno de los 4 ángulos iguales que forman al cortarse. Si dividimos el ángulo recto en 90 partes iguales, a cada parte se la llama grado sexagesimal (º). Si dividimos cada grado sexagesimal en 60 partes iguales cada parte se llama minuto sexagesimal ('). Si dividimos cada minuto sexagesimal en 60 partes iguales cada parte se llama segundo sexagesimal (''). Así podemos decir, p. ej. que un ángulo mide:

52º27'38''  que se lee: cincuenta y dos grados, veintisiete minutos y treinta y ocho segundos.

Dadas las definiciones anteriores, cuando expresemos la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal, el número de minutos y el de segundos no pueden pasar de 60 ya que cada 60'' es un minuto y cada 60' es un grado.

El ángulo 102º63'78'' está mal escrito. Para escribirlo correctamente empezamos por los segundos y quitamos 60 tantas veces como se pueda, el número de veces que quitamos el 60 hay que añadirlo a los minutos. Posteriormente hacemos lo mismo con los minutos. El ángulo dado quedará así:

102º63'78'' = 102º64'18'' = 103º4'18''

Radianes:

Se llama radián al ángulo que teniendo su vértice en el centro de un círculo corta en su circunferencia un arco de longitud igual al radio. Dado que una circunferencia completa tiene 360º y su longitud total es , en la circunferencia caben radianes. Gráficamente el radián es:

Si queremos saber la equivalencia entre la medida de un ángulo  en grados y en radianes bastará establecer la siguiente proporcionalidad directa:

Ejemplo:¿Cuántos radianes son 60º? ¿Cuántos grados son  radianes?

Para la primera pregunta tenemos:

Para la segunda:

Las equivalencias fundamentales entre los ángulos de uso más frecuente en grado y radianes son las que se establecen en la tabla siguiente:

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2.      Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

En el triángulo rectángulo adoptaremos, salvo advertencia en contra, a partir de este momento el siguiente convenio de nomenclatura para sus 6 elementos (3 ángulos y 3 lados). Al ángulo recto lo llamaremos A y a los otros dos B y C indistintamente. A cada lado se le nombrará igual que al ángulo opuesto pero con letra minúscula.

Dado un triángulo rectángulo y, fijándonos en uno de sus ángulos agudos, llamaremos cateto opuesto a él al que tiene enfrente y cateto contiguo al que forma uno de sus lados. La hipotenusa es por definición el lado mayor (opuesto al ángulo recto). Con todos los convenios anteriores tenemos la siguiente figura:

Fijándonos en el ángulo agudo C , se tiene que c es el cateto opuesto, b es el cateto contiguo y a es la hipotenusa. Se definen entonces las razones trigonométricas ( q seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) del ángulo C como las siguientes relaciones entre los lados del triángulo:

Las tres primeras razones trigonométricas son las fundamentales, pues conocidas ellas, se puede comprobar que las tres restantes son sus inversas. Esto es, tenemos las siguientes relaciones entre las 6 razones trigonométricas:

siendo  cualquiera de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo.

Hay que tener en cuenta que en un triángulo rectángulo, la hipotenusa siempre es mayor que cualquiera de los catetos, y, además, como veremos luego alguna de las medidas puede ser negativa al considerar el triángulo dibujado en un plano coordenado, por ello y atendiendo a las definiciones dadas, se habrá de cumplir necesariamente que:

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3.      Signo de las razones trigonométricas.

Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj

Sobre la circunferencia goniométrica y, apoyándonos en las definiciones dadas de las razones trigonométricas, encontrar segmentos que coincidan en su medida con cada una de las razones definidas, además de poder atribuirles un signo, en efecto consideremos el gráfico siguiente:

Por la definición dada OA=OF=OC=1

Llamando al ángulo agudo AOC se tiene que:

donde las dos últimas expresiones son debidas a la semejanza de los triángulos rectángulos OBC y OAD por un lado y OBC y OFE por otro. En conclusión:

¨      ¨        El seno es la medida del segmento que une la proyección sobre el eje X del punto donde el lado del ángulo corta a la circunferencia y dicho punto (es positivo hacia arriba y negativo hacia abajo del eje X).

¨      ¨        El coseno es la medida del segmento que une el centro de la circunferencia con el punto proyección sobre X del punto donde el lado corta a la circunferencia (es positivo hacia la derecha y negativo hacia la izquierda del origen).

¨      ¨        La tangente es la medida del segmento que une el punto donde se cortan el lado del ángulo con la recta tangente a la circunferencia perpendicular al eje X y el punto donde dicha recta tangente corta al eje X (siendo positiva hacia arriba del eje X y negativa hacia abajo).

¨      ¨        La cotangente es la medida del segmento que une el punto donde se cortan la recta tangente a la circunferencia perpendicular al eje Y con el lado del ángulo y el punto donde dicha tangente corta al eje Y (siendo positiva hacia la derecha del eje Y y negativa hacia la izquierda).

Con todo lo visto, las razones trigonométricas tienen, en cada uno de los cuadrantes los siguientes signos:

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4.  Razones trigonométricas de algunos ángulos de uso muy frecuente.

En los problemas de trigonometría es muy frecuente que aparezcan como datos ciertos ángulos de los cuales es conveniente recordar las razones trigonométricas para no tener que recurrir a la calculadora o las tablas. Estos ángulos son los que delimitan los 4 cuadrantes (90º, 180º, 270º y 360º) y además los de 30º, 45º y 60º.

En los cuatro primeros basta dibujar la circunferencia goniométrica para poder determinar rápidamente el valor de su seno, coseno o tangente.

En los tres citados en último lugar, hay que recurrir a ciertos cálculos basados en las definiciones dadas de razones trigonométricas para el ángulo agudo de un triángulo rectángulo. Veamos:

  Razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º:

Si dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si trazamos una altura del mismo h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30º cada uno. Recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos para el triángulo rectángulo sombreado:

de donde, despejando h queda:

Entonces quedan las siguientes razones trigonométricas del ángulo de 60º:

Y para el ángulo de 30º:

      Razones trigonométricas del ángulo de 45º:

En el siguiente cuadrado ABCD, la diagonal d determina un triángulo rectángulo y por Pitágoras tenemos:

Con lo que:

En resumen, hemos de memorizar la siguiente tabla:

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5.      Identidades fundamentales de la Trigonometría.

Si observamos de nuevo el triángulo rectángulo del apartado 2º en el que nos hemos basado para definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo C ( y que ahora llamaremos genéricamente para poder representar cualquier ángulo agudo), tenemos que:

Elevando ambos miembros al cuadrado y sumando miembro a miembro queda:

donde la última igualdad es consecuencia de que por el Teorema de Pitágoras

Por otro lado, dividiendo miembro a miembro las dos igualdades anteriores tenemos:

A las dos relaciones demostradas anteriormente, es decir:

se las denomina ecuaciones fundamentales de la Trigonometría.

Otras relaciones, útiles a veces, aunque derivadas de las anteriores son:

Dividiendo los dos miembros de la 1ª por y teniendo en cuenta la 2ª y la definición de secante, queda:

Y, dividiendo por :

Un ejemplo clásico:

Aunque este tipo de ejercicio podría haberse resuelto únicamente con los conocimientos adquiridos en el apartado 5 sobre ecuaciones fundamentales de la Trigonometría, lo incluimos aquí después de tener una visión de conjunto más amplia sobre la materia.

Se trata de, conocida una de las 6 razones trigonométricas determinar todas las demás

Sabiendo que  y que  determinar las otras cinco razones trigonométricas.

Nos dicen que  está en el tercer cuadrante por los que los signos de las diferentes razones que vayamos encontrando tendrán en cuenta este hecho.

Dado que:

donde hemos tomado el signo negativo en la raíz por ser el coseno negativo en el tercer cuadrante.

Por otro lado:

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6.      Reducción al 1^er cuadrante.

Cuando el lado de un ángulo se encuentra en un cuadrante distinto al 1º de la circunferencia goniométrica, podemos aprovecharnos de ciertas relaciones entre ese ángulo y uno del 1^er cuadrante relacionado con él para así, sin el uso de calculadora y sabiéndonos de memoria los valores de las razones trigonométricas de los ángulos de uso más frecuente vistas en el apartado 4º, determinar sus razones trigonométricas.

 Ángulos complementarios.- Son aquéllos cuya suma es 90º o  radianes.

Observemos el siguiente dibujo donde el ángulo gris es :y el rojo es - y los triángulos rectángulos OBC y OAD son semejantes

Se tiene que:

O sea, el seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario y viceversa

      Ángulos suplementarios.- son los que sumados dan 180º o  radianes.

El gráfico es ahora:

Se tiene:

Es decir: el seno del suplementario de un ángulo es igual al seno del ángulo y el coseno del suplementario es el opuesto del coseno del ángulo

 Ángulos que difieren en 180º o radianes:

La figura es:

Se tiene:

Es decir: si los ángulos difieren en radianes, tanto los senos como los cosenos son opuestos.

  Ángulos opuestos.- Uno es positivo y el otro negativo

Tenemos:

Es decir: dos ángulos opuestos tienen senos opuestos y el mismo coseno.

La reducción al primer cuadrante permite resolver ejemplos como los siguientes:

Ejemplo 1: Calcular sen  120º, cos 120º y tg 120º

Se tiene que:

donde hemos aplicados las relaciones vistas en b) ángulos suplementarios.

Ejemplo 2: Calcular cos 225º-sen 330º

225º está en el tercer cuadrante y ese ángulo y el de 45º difieren en 180º

Tenemos, pues:

330º está en el cuarto cuadrante y, recordando el concepto de ángulo de signo negativo se cumple que 330º = -60º, aplicando las ideas expuestas en d) para ángulos opuestos:

Así, pues:

Cuando tengamos que calcular razones trigonométricas de ángulos que ni sean los ya vistos en el apartado 4 ( los de uso más frecuente) ni estén relacionados con ellos por las reducciones al primer cuadrante, no tendremos más remedio que recurrir a la calculadora. En ella están las siguientes teclas que necesitaremos:

La tecla dms (en algunas calculadores viene como º ' '') sirve para convertir grados, dados en el sistema centesimal a grados en el sistema sexagesimal. Si queremos calcular por ejemplo el valor de: sen 43º 18' 23'', procederemos así:

43 18  23  a continuación pulsamos 

y obtendremos 0,68589950 (para nuestro propósito es suficiente con aproximación hasta las diezmilésimas por tanto redondearemos el valor a 0,6859. Para calcular cos o tg hacemos lo mismo pulsando al final la tecla correspondiente

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7.      Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos.

Observemos la siguiente figura donde la zona gris corresponde al ángulo central "a" y la roja al ángulo central "b":

Se tiene que:

sen a = DC

cos a = OD

sen b = BA

cos b = OB

sen (a+b) =EA

cos (a+b) = OE

Entonces:

sen (a+b)=EA=GF=GB+BF=OB sena +AB cosa = sena cosb +cosa senb

Por otro lado:

cos (a+b)=OE=OG-EG=OB cosa - AB sena = cosa cosb - sena senb.

Además, recordando las ecuaciones fundamentales:

En resumen, las fórmulas de la adición de ángulos son:

Sustiruyendo en esas expresiones "b" por "-b" y, recordando que sen (-b) =-sen b ; cos (-b) = cos b y tg (-b) = -tg b, queda para las fórmulas de la diferencia de ángulos:

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8.      Razones trigonométricas del ángulo doble.

Si suponemos conocidas las razones trigonométricas de un ángulo "a" y queremos conocer las del ángulo "2a", podemos recurrir a las fórmulas del ángulo suma vistas en el apartado anterior haciendo b=a para obtener:

Que son las fórmulas del ángulo doble.

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9.      Razones trigonométricas del ángulo mitad.

Supongamos ahora que conocemos las razones trigonométricas del ángulo "a" y queremos, basándonos en ellas, conocer las del ángulo "a/2". Si en las fórmulas del ángulo doble haciendo 2a=A y por tanto a=A/2 tenemos:

Y sumando y restando miembro a miembro esta última con la ecuación fundamental de la trigonometría:

Nos queda:

De la primera despejando obtenemos:

Y de la segunda:

Finalmente dividiendo estas dos últimas:

Que son las fórmulas del ángulo mitad buscadas.

Como aplicación de los tres últimos apartados, veamos los siguientes ejercicios:

Ejercicio 1: Calcula, sin calculadora, el coseno de 105º

Tenemos:

Ejercicio 2: Calcula la tangente de 15º.

Se tiene:

Ejercicio 3: Calcula el seno de 120º

Ahora tenemos:

Ejercicio 4: Calcula seno y coseno de 22º30'

 Se cumple que:

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10.  Transformaciones de sumas en productos y viceversa.

En muchas ocasiones nos vemos en la necesidad de transformas expresiones trigonométricas que contienen sumas o diferencias de senos, cosenos, tangentes, etc. en productos de cara a posibles simplificaciones o a la resolución de ecuaciones trigonométricas. En otras ocasiones nos interesa realizar la transformación a la inversa o sea, de productos en sumas o restas. Veamos como hacerlo.

Partimos de las fórmulas del seno de la suma y de la resta:

Sumándolas miembro a miembro, tenemos:

Y haciendo el cambio:

Lo que supone que:

Queda:

Restando las expresiones iniciales y haciendo el mismo cambio se llega fácilmente a:

Si partimos de las fórmulas del coseno de la suma y la resta tenemos:

Sumando y haciendo el cambio anterior de variable queda:

Restando y haciendo el cambio queda:

Ejemplo de utilización de estas fórmulas:

Simplifica la expresión:

Tenemos, usando la 1ª y la 3ª:

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11.  Simplificación de expresiones trigonométricas. Ecuaciones trigonométricas.

Conociendo todas las fórmulas vistas en los apartados anteriores es posible reducir ciertas expresiones trigonométricas a la mínima expresión (simplificarlas) o bien resolver ecuaciones en las que la incógnita está en el argumento de alguna o algunas de las expresiones trigonométricas.

La simplificación de expresiones no tiene un método general que sea de validez universal y aplicable a todos los casos. Cada caso es diferente y será nuestra propia experiencia y el conocimiento que tengamos de todos los apartados anteriores el que nos guiará en cada caso. Veamos algunos ejemplos:

Simplifica:

Realizando la suma de fracciones queda:

Demuestra:

Desarrollando el numerador como diferencia de cuadrados:

Respecto a las ecuaciones trigonométricas cabe dar las siguientes ideas generales:

¨      ¨        Hay que tratar de dejar el mismo ángulo en todas las razones trigonométricas.

¨      ¨        Tratar de que nos queda una sola razón trigonométrica.

¨      ¨        Tratar de que nos quede la ecuación como un producto de varios factores igualados a cero de forma que en cada factor sólo haya una razón trigonométrica.

¨      ¨        Si es necesario nos ayudaremos de la circunferencia goniométrica, pues en la mayoría de casos la solución es doble.

¨      ¨        Escribiremos la solución general añadiéndole un número entero de circunferencias (sumaremos 360k ó , según trabajemos en grados o radianes, siendo "k" un número entero).

Ejemplos:

Resuelve:

Se tiene:

Resolver el sistema de ecuaciones trigonométricas:

Desarrollando en la 2ª la tangente de la suma:

Y sustituyendo el numerador por la 1ª:

Como conocemos la suma y el producto de tgx.tgy podemos formar la ecuación de segundo grado:

(raíz doble por tanto tgx=tgy=1/2

De ahí se tiene que, usando la calculadora:

Que didieren en 180º por tanto se puede poner como solución única:

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12.  Resolución de triángulos rectángulos.

Dado que en un triángulo rectángulo hay 3 lados y tres ángulos, pero uno de los ángulos es recto y, por tanto de valor ya conocido, nos quedan 5 elementos variables. El problema de la resolución del triángulo consiste en, dado el mínimo número posible de los 5 elementos desconocidos (han de ser al menos 2 u uno de ellos, al menos, un lado), determinar todos los demás.

En este tipo de problemas nos basta con recordar la definición de cada una de las razones trigonométrica dadas en el apartado 2, el hecho de que la suma de los dos ángulos agudos ha de ser 90º y el Teorema de Pitágoras.

Cabe preguntarse ¿Cuál de las definiciones de las razones trigonométricas hay que usar en cada caso? Pues bien, la respuesta depende del elemento a calcular y del elemento conocido, se usará la relación que los liga a ambos.

Veamos varios casos:

Resuelve el siguiente triángulo rectángulo:

Como ya sabemos que A=90º, hemos de determinar C, c y b.

C=90º - 80º 18' 12'' = 9º 41' 48''

De la definición de seno:

De la definición de coseno:

Como advertencia cabe decir que es conveniente usar siempre en cada cálculo los datos iniciales y no alguno de los previamente calculados por nosotros, pues ni nos hemos equivocado en el primer cálculo, todos los demás estarán mal.

Resuelve un triángulo como el anterior sabiendo que b = 18 cm. y c= 23 cm.

Por el Teorema de Pitágoras:

De la definición de tangente, tenemos que:

Finalmente queda para C:

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13.  Resolución de triángulos cualesquiera. Teorema de los senos y teorema del coseno.

En este tipo de triángulo (ya que no hay ningún ángulo recto), necesitamos saber al menos tres de los 6 elementos y, de ellos, al menos uno ha de ser un lado.

Usaremos en la resolución las siguientes propiedades:

¨      ¨        A+B+C = 180º

¨      ¨        Teorema de los senos.

¨      ¨        Teorema del coseno (Teorema de Pitágoras generalizado para triángulos no rectángulos).

Vamos a demostrar estas dos últimas relaciones:

 Teorema de los senos:

Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto, o sea:

En efecto, consideremos el triángulo de la figura ABC en el que hemos trazado la altura correspondiente al vértice C y que determina los triángulos rectángulos ADB y CDB:

En ADB se tiene que:

En CDB:

Y, de la igualdad de los segundos miembros, tenemos:

Si hubiésemos trazado otra altura y procedido de la misma manera, habríamos obtenido también la igualdad con la tercera de las fracciones que aparecen en la formulación del teorema.

Por otro lado, trazando la circunferencia circunscrita al triángulo ABC y otro triángulo rectángulo en C A'CB ( de lados en rojo), pues A'B es un diámetro, tenemos:

Los ángulos A y A' son iguales pues abarcan el mismo arco BC. Además del triángulo rojo se deduce que:

Entonces:

Y de la igualdad de esta fracción con las otras dos correspondientes a los otros dos lados se deduce que todas ellas son iguales a 2r, es decir al diámetro de la circunferencia cincunscrita.

Teoremas del coseno:

Podrían formularse verbalmente diciendo que en un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman, esto es, para cada uno de los lados tendríamos:

Vamos a demostrar la 1ª, pues en las otras el razonamiento sería análogo.

Consideremos el triángulo ABC en el que hemos trazado la altura h correspondiente al vértice b:

Por el Teorema de Pitágoras en BDC:

Y en el triángulo ADB:

Sustituyendo la 2ª en la primera tenemos:

Pero DC=b-AD, de donde:

Y, como en el triángulo rectángulo ADB se cumple que:

Queda finalmente:

que es lo se quería demostrar.

Conocidos estos teoremas, pasemos ya a resolver triángulos no rectángulos y a discutir la existencia o no de soluciones.

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